Subgrupos del grupo diédrico

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Moderator
Buenas,

Abro tema porque estoy un poco desesperada, xd. Sé que es algo muy concreto, pero a ver si por casualidad alguien supiese del tema...

Me piden que encuentre todos los subgrupos del grupo diédrico (transformaciones del cuadrado y sus simetrías) tal que D4={1, g, g^2, g^3, s, sg, sg^2, sg^3}. Sé que los órdenes de los subgrupos por el teorema de Lagrange son 1, 2, 4 y 8. He encontrado los siguientes:

-<1> = {1} (subgrupo orden 1)
-<g> = <g^3> = {1,g,g^2,g^3} (subgrupo cíclico orden 4)
-<g^2> = {1,g^2} (subgrupo orden 2)
-<s> = {1,s} (subgrupo orden 2)
-<sg> = {1,sg} (subgrupo orden 2)
-<sg^2> = {1,sg^2} (subgrupo orden 2)
-<sg^3> = {1,sg^3} (subgrupo orden 2)
-<D8> = {1, g, g^2, g^3, s, sg, sg^2, sg^3} (subgrupo de orden 8)


Hay otros dos subgrupos más de orden 4 que no son cíclicos:

<H1> = {1,g^2,s,sg^2}
<H2> = {1,g^2,sr,sg^3}

Mi duda es cómo puedo averiguar que H1 y H2 son subgrupos de orden 4 de D4. Me lo ha dicho un compañero de clase, pero no acabo de verlo claro, xD. Muchísimas gracias, :)
 

Orion

New member
¿Puedes poner qué operación asignas a cada letra?

Son presuntos grupos finitos, si van a ser grupos, tienen orden 4 porque tienen 4 elementos, queda demostrar que son cerrados bajo el producto, la existencia de inverso y asociativid.
 

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Moderator
Uso la composición (gºs, por ejemplo). La cosa es que hago algo mal, inverso tienen y elemento neutro, pero diría que no son cerradas, porque cuando hago la operación entre elementos del subgrupo me dan otros elementos que no pertenecen a él y ahí es cuando me lío, >.<

Gracias, :)
 

Hijitus

Wiiiiii
Uso la composición (gºs, por ejemplo). La cosa es que hago algo mal, inverso tienen y elemento neutro, pero diría que no son cerradas, porque cuando hago la operación entre elementos del subgrupo me dan otros elementos que no pertenecen a él y ahí es cuando me lío, >.<

Gracias, :)
Es cerrada.

<H1> = {1,g^2,s,sg^2}
<H2> = {1,g^2,sr,sg^3}
(Imagino que en H2 cometiste un error de tipeo y el elemento es sg y no sr).

Ten en cuenta que sºs = 1 y g^4 = 1. Si operas teniendo en cuenta eso, te van a dar todos del mismo grupo.

La explicación es bastante fácil: s es una reflexión, si tú reflejas un elemento dos veces, al final queda en su posición original. g es una rotación de 360/4 grados, si tú rotas cuatro veces 90º, al final has rotado 360º y el elemento queda en su posición inicial.
 

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Moderator
Vaaaale, ya sé dónde me he equivocado:

Los subgrupos no son:

<H1> = {1,g^2,s,sg^2}
<H2> = {1,g^2,sr,sg^3}

Sino:

<H1> = {1,g^2,s,sg}
<H2> = {1,g^2,sg^2,sg^3}

Gracias a todos por la ayuda, :D
 
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