Estructura (E,+,K,·) sin elemento neutro.

matest96

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Hola,

Quería hacer una pregunta que no tengo muy clara, la cual va dirigida sobretodo a los matemáticos, físicos e ingenieros.

¿Hay alguna estructura tipo (E,+,K,·) dónde se cumplan todas las propiedades de un espacio vectorial excepto la propiedad 1·u=u, para cualquier u en E? ¿En este caso cual sería?

Sólo se me ha ocurrido el una estructura nula tipo E = 0, pero no se si esta estructura sería correcta o al menos bien planteada.

Muchas gracias :)
 

Jwym Lord of Cinder

Moderation gone hollow
Si tomas E = 0, lo cual me figuro que significa que E = {(0,0,...,0)}, lo que dices no acaba de ser cierto, porque lo que estás implicando es que el cuerpo subyacente es uno tal que su característica es menor que dos (el cuerpo trivial, básicamente). En dicho caso, lo que uno tiene es que 1=0 en K porque, de algún modo, y sin entrar en muchos detalles, es imposible definir la suma de manera distinta al producto.

Entonces, para todo u de E, 1·u = 0·u = (0,0,...,0), precisamente el único (y por lo tanto, "todos") elemento de E.

Está guay llevar la definición de las cosas al extremo y ver qué pasa. Ahora, si no entiendo mal, lo que pides es algo que "se parezca" a un e.v. pero que no lo sea necesariamente. Tengo el álgebra muy olvidada, pero por ahí podrías buscar lo que es un K-módulo, dónde K es un anillo que no es necesariamente un cuerpo. Si lees lo suficiente, encontrarás un teorema dice que cualquier grupo conmutativo es un K-módulo, y ahí ya puede ser que encuentres grupos extravagantes para los cuales se pueda definir un semiproducto que no tiene elemento neutro, aunque para serte sincero estoy muy lejos de poder garantizar algo así.

EDIT: Acabo de repasar lo que es un K-módulo y tampoco, porque una definición equivalente de K-módulo es que se trata de un grupo G (aparentemente, ni siquiera es necesario que sea conmutativo) que actúa sobre el anillo K. Que "actúa" significa que se define una operación (a,m) -> a·m, a de G y m de K, llamada acción, una de las propiedades de la cual es que si 1 es el elemento neutro de G, entonces 1·m = m para todo m de K.
 
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matest96

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Perfecto Jaime, muchísimas gracias :) Buscaré lo que pueda, pero igualmente muchas gracias por la ayuda!!
 
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