(Demostracion)Suma de funciones medibles =S

Burbii*

New member
Necesito que alguien que sepa de matematicas me haga una demostracion o me diga donde puedo encontrarla,que no tengo ni idea y la necesito para el jueves =S

Dadas X e Y funciones medibles,probar que X+Y es funcion medible

solo encuentro la demostracion para funciones simples,pero esa no me sirve =[

gracias!
 

Burbii*

New member
no viene,dice que "es evidente debido al teorema anterior",pero ya la he sacado,y la verdad que si que era evidente

muchas gracias!!
 

Jwym Lord of Cinder

Moderation gone hollow
Así a bote pronto se me ocurre la siguiente:

Una función es medible si para todo x de su dominio, el conjunto f(x) > a es medible para todo a real.

Tomemos dos funciones; f, g, medibles, es decir, con dicha propiedad: f(x) > a y g(x) > a para todo a.

Hemos de provar que para todo x de la interesección de los dominios de f y g; (f + g)(x) > a, para todo a real. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que tanto f como g son funciones estrictamente positivas. De este modo, (f + g)(x) > f(x) para todo x; pero si es así, como por hipótesis se tiene f(x) > a, se sigue que (f + g)(x) > f(x) > a; para todo x del dominio y para todo a real, luego (f + g) es medible.

Esta demostración usa la definición de la Medida de Lebesgue, pero es análoga para cualquier medida. Es fácil comprobarlo para la medida de probabilidad, por ejemplo.

Una alternativa, es usar que f(x) es medible si, y sólo sí, |f(x)| lo es (ya que |f(x)| >= f(x) > a). Con ello nos ahorramos puntualizar que f y g son funciones positivas. En efecto: si f y g son medibles, entonces |f| y |g| lo son. Puesto que |g| >= 0 para todo x, se tiene |f|+|g| >= |f|; y como |f| es medible, en particular |f(x)| > a; luego |f(x)| + |g(x)| >= |f(x)| > a para todo x y para todo a real. Vemos así que la suma de dos funciones medibles, da una función medible.

Bonus: Si f(x) > a, entonces, para todo k real, k·f(x) > k·a. Como k·a es real para cualquier a y cualquier k, se tiene que k·f(x) es medible.

Corolario: El conjunto de las funciones medibles es un R-espacio vectorial; que además es de Banach si se le añade una métrica.
 
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Burbii*

New member
joo,que currado xDD

yo he usado el teorema de medibilidad que dice que una funcion f es medible si,y solo si,existe una sucesion de funciones simples no decreciente convergente a f.

entonces,como f y g son medibles existen {fn} y {gn} simples,no decrecientes y convergentes a f y g respectivamente.como la clase de las funciones simples es cerrada para la suma,se tiene {fn+gn} es simple para todo n,y por ser ambas no decrecientes,la suma tambien lo es.ademas lim(fn+gn)=lim(fn)+lim(gn)=f+g y ,de nuevo por el teorema de medibilidad,f+g es medible.

demostracion que me ha ocupado una cara,todo explicadisimo y desarroyadisimo.yo me he quedado convencidisima ^^


por cierto,no termino de entender tu segunda linea: "Una función es medible si para todo x de su dominio, el conjunto f(x) > a es medible para todo a real."

la definicion que yo tengo de funcion medible es:

sea f:([omega1],[sigma-algebra1])-->([omega2],[sigma-algebra2])
f es medible si para todo b perteneciente a [sigma-algebra2] se tiene f(-1)(b) pertenece a [sigma-algebra1])


esto lo uso para la asignatura de probabilidad,asique a lo mejor tu definicion es de otra asignatura,o de otro curso superior,que yo estoy en segundo ^^
 

Jwym Lord of Cinder

Moderation gone hollow
Tu definición no me suena, pero lo que sí puedo decirte es que una sigma-álgebra caracteriza de algún modo a los conjuntos medibles. En tu caso, como es probabilidades, trabajarás con la sigma-álgebra de Borel, que es relativamente sencilla y manejable.

Yo he usado la definción digamos general de medida; precedida por una medida exterior y caracterizada mediante el Teorema de Carathéodory. Ésta dice que una medida es una función m que va de la sigma-álgebra dada a (un subconjunto de) los reales positivos; verificando lo siguiente:

1. m(vacío) = 0
2. m(A U B) = m(A) + m(B)

Si te fijas, el paralelismo con la probabilidad está claro; salvo que si la medida es de probabilidad aparece una tercera condición:

3. m(A complementario) = 1 - m(A)

Ya que, en la medida de probabilidad (medida de Kolmogorov) ningún conjunto puede tener medida infinita y, como máximo, ha de tener medida 1. Esto en general no sucede. Por ejemplo, en la medida de Lebesgue, que es la que se usa para integrar, la recta real tiene medida infinito.

Ahora bien, no confundir función de medida con función medible. Una función de medida asigna a cada conjunto de la sigma-álgebra un valor real; mientras que una función medible es aquella que, bajo una medida concreta, satisface la propiedad que dije al principio:

El conjunto f(x) > a es medible según la medida dada.

Esto es equivalente a que sean medibles los conjuntos f(x) >= a, f(x) < a y f(x) <= a. Si lo piensas, el paralelismo con la probabilidad está claro: la probabilidad de una v.a. aleatoria es la integral de su función de densidad; y da lo mismo P(X < a) que P(X <= a); ya que un número sólo es un conjunto de medida cero.

Por último, la definción que usé, traducida al lenguaje de probabilidades, es precisamente la definición de variable aleatoria.
 
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