Cosas guais que los profanos dicen del número pi

  1. #1
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    Cosas guais que los profanos dicen del número pi

    A falta de un subforo de cienca (¡Hola Admin!) cuelgo esto aquí para que le deis un par de vueltas al coco. Me interesan vuestras pajas mentales al respecto:

    http://math.stackexchange.com/questi...e-digits-of-pi

    Oh, está en inglés. Básicamente, el autor de la pregunta se cuestiona si puesto que cualquier combinación de dígitos se encuentra en alguna parte de la extensión decimal de pi, entonces cualquier información habida y por haber en el Universo se halla codificada (en ASCII, por ejemplo) en alguna parte de la misma. El texto citado acaba con la amarillista pero no menos graciosa sentencia "toda la información del Universo contenida en la relación entre el diámetro y la longitud de una circunferencia".

    Las pegas son que no está demostrado que tal cosa suceda con el número pi (esto es, no se sabe si pi es un número normal), pero está demostrado que el conjunto de número reales que no son normales tiene medida cero. Tener medida cero es como decir que ocupan el espacio que ocupa la pasta maravilla en un plato de sopa: observando el conjunto, el caldo es abrumadoramente más abundante que la pasta. Tanto, que podríamos pesar el plato de sopa fijándonos sólo en el caldo y despreciando la pasta y aún así obtendríamos un peso exacto. Por esta razón, a la práctica, la probabilidad de que pi sea un número con la propiedad que nos interesa es del 100%... aunque quede por demostrar. Lo sé, parece un paradoja, pero no lo es; aunque no me voy a poner a explicar el por qué; hacen falta unos cuantos años de teoría de la medida y de probabilidades de por medio. El motivo está relacionado con el Axioma de Elección y se traduce en que una cosa es que algo sea muy abundante y otra es que nuestra psicología nos permita identificarlo como tal. Volviendo al ejemplo de la sopa, es como si quisiéramos saber algo de las abundantes moléculas de caldo pero la llamativa excepcionalidad de la pasta mantuviera toda nuestra atención en ella, haciéndonos capaces únicamente de estudiar objetos cuyas excepcionales propiedades ocultan el aspecto de los objetos abrumadoramente más comunes. Este es un hecho bastante común en matemáticas y da una idea de lo mucho que nos cuesta poner en orden la información disponible, por mucho que la tengamos ante nuestras narices.

    Mira, con la guasa aún podría salir algo interesante de esto. A ver a qué conclusiones llegáis. También podéis poner otras cosas profanas guais sobre pi, e, o el número que os dé la gana.

    EDIT: Han suprimido el hilo por considerarlo un duplicado de una pregunta anterior. Aquí el link a la pregunta original:

    http://math.stackexchange.com/questi...r-combinations
    opositivo, November, .. y 1 personas más han agradecido este mensaje.
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    Vicent Andrés Estellés.


  2. #2
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    A mí me surgen dos dudas:

    ¿Sucede lo mismo con otros números irracionales como e o el áureo?

    ¿Existen algoritmos para obtener el enésimo decimal de alguno de los anteriores y que no requieran n iteraciones?

    Bonus offtopic:

    ¿Conoces CORDIC?
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  3. #3
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    opositivo escribió: Ver mensaje
    ¿Existen algoritmos para obtener el enésimo decimal de alguno de los anteriores y que no requieran n iteraciones?
    Es un número irracional, juraría que no. Lo que siempre se puede hacer es jugar con aproximaciones. Si límitas los decimales a una cantidad entera lo suficientemente alta, puedes usar otras estructuras de datos (un array, un diccionario, algo así) que tenga complejidad 1 para acceder a un elemento de la estructura. Pero claro, esta solución es un poco limitada.

  4. #4
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    Hijitus escribió: Ver mensaje
    Es un número irracional, juraría que no. Lo que siempre se puede hacer es jugar con aproximaciones. Si límitas los decimales a una cantidad entera lo suficientemente alta, puedes usar otras estructuras de datos (un array, un diccionario, algo así) que tenga complejidad 1 para acceder a un elemento de la estructura. Pero claro, esta solución es un poco limitada.
    Estaba pensando en la posibilidad de optimizar los requisitos de almacenamiento codificando los datos en función de una serie "infinita" no repetitiva. Almacenando índice y longitud con un bit adicional de salto. El tiempo de codificación sería mucho mayor pues requeriría colocar los punteros en posiciones óptimas. Pero el de ejecución podría reducirse disponiendo de un algoritmo que parta de una semilla.

    Cualquier algoritmo iterativo puede optimizarse mediante células segmentadas en serie (pseudo-paralelismo), pero si no puede hacerse en un número razonable de iteraciones, no tiene sentido para un número reducido de datos. Y para más datos no creo que sea óptimo.
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  5. #5
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    opositivo escribió: Ver mensaje
    Estaba pensando en la posibilidad de optimizar los requisitos de almacenamiento codificando los datos en función de una serie "infinita" no repetitiva. Almacenando índice y longitud con un bit adicional de salto. El tiempo de codificación sería mucho mayor pues requeriría colocar los punteros en posiciones óptimas. Pero el de ejecución podría reducirse disponiendo de un algoritmo que parta de una semilla.

    Cualquier algoritmo iterativo puede optimizarse mediante células segmentadas en serie (pseudo-paralelismo), pero si no puede hacerse en un número razonable de iteraciones, no tiene sentido para un número reducido de datos. Y para más datos no creo que sea óptimo.
    Sí, es una posibilidad linda de programar y te ahorra un poco de espacio. Me hace acordar a una estructura de Numpy que usé hace poco, pero no consigo acordarme el nombre. El concepto es parecido.

    Igual, también depende de qué problema quieras resolver y qué necesidades de almacenamiento/rendimiento. Y habría que ver también qué propiedades matemáticas espeíficas tienen esos número, seguro tienen alguna útil para resolverlo bien. Estas cosas molan, ¿lo estabas pensando usarlo para algo en específico?

  6. #publi
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  7. #6
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    Me estoy especializando en el diseño de controladores embebidos de alta velocidad. Más concretamente en el diseño de arquitecturas que aprovechen el paralelismo en hardware e implementen módulos optimizados para controladores MPC.

    Al diseñar circuitos hardware, el acceso a memoria es lo que más latencias introduce en la ejecución, especialmente a memoria externa. Además la memoria es un bien especialmente preciado, como en cualquier sistema digital. Por otra parte, algunas funciones matemáticas sólo pueden inferirse mediante algoritmos iterativos (en el caso de CORDIC, con sumas/restas y desplazamientos sucesivos), para mantener el compromiso área/velocidad.

    Lo que me vino a la cabeza cuando Jaime abrió el hilo es la posibilidad de ahorrarme iteraciones en el cálculo del ángulo entre dos vectores codificando resultados parciales como constantes en una tabla, por ejemplo. Eso requiere guardar n bits por cada valor. Si pudiéramos codificar esa información en m bits (donde m menor que n) y utilizar un módulo que obtuviera el resultado en una iteración, reduciríamos los requerimientos de memoria, y la latencia. No se trata de truncar la resolución por debajo de n, sino de aprovechar la información implícita en un número irracional "conocido" para ahorrarnos m-n.

    Todo con el objetivo de ahorrar recursos para poder hacer más cosas en paralelo con el mismo área. Y, como segundo objetivo, reducir los requerimientos de área/consumo para que puedan emplearse en entornos con recursos energéticos muy críticos.

    Por lo tanto, sí lo estaba pensando para algo en concreto, pero como prueba de concepto, porque son 12x15=180bits y para eso no merece la pena...

    Luego ahí queda la pregunta: ¿puedo obtener los i decimales de pi -o de cualquier otro número irracional- a partir de una posición n dada, para un rango de n limitado a [0,i*2^x) donde x:0,1,2,3,4...?

    PD: como ves, el trabajo es a nivel de registro/bit, aunque la base es la computación y la optimización de los algoritmos (que me viene dado).
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  8. #7
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    Desde el móvil y en pleno tour por Burdeos me veo incapaz de decir gran cosa Opo, pero en cuanto vuelva discutimos el asunto del álgebra computacional.

    Lo que sí puedo decirte en cuanto a la normalidad de los números irracionales es que se sabe que la gran mayoría lo son, pero es por un argumento no constructivista, lo cual significa que no hay un método canónico para decidir si un número dado es o no es normal. Hay que ir caso por caso y desconozco qué ejemplos existen de números normales probados.
    opositivo ha agradecido este mensaje.
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  9. #8
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    opositivo escribió: Ver mensaje
    Luego ahí queda la pregunta: ¿puedo obtener los i decimales de pi -o de cualquier otro número irracional- a partir de una posición n dada, para un rango de n limitado a [0,i*2^x) donde x:0,1,2,3,4...?
    Más tarde le daré más vueltas al asunto, pero pensándolo así a bote pronto se me ocurre usar el método de Newton-Raphson tomando ventaja de la siguiente definición de PI:

    PI es el doble de la primera raíz del coseno.

    Es decir, puedo pensar en PI como la "primera" (en el sentido de la más cercana a cero que es positiva) solución de la ecuación

    cos x = 0,

    que como se sabe es PI/2. Metiéndole Newton con semilla en 1 (partiendo de 0 también llegas), llegas a PI/2 en convergencia cuadrática (el teorema de Newton-Kantorovich lo garantiza), lo cual viene a significar que si quieres el n-ésimo decimal te bastan... ¡n^(1/2) iteraciones!, lo cual solucionaría de sobras tu problema...

    ... de no ser por el evidente problema computacional que supone hacerle entender al ordenador lo que significa el coseno de algo. Aquí, naturalmente, lo suyo es interpolar y es conveniente observar que basta con interpolar una vez ya que, aunque el método de Newton implica a la derivada de la función, es conocido que interpolando por ejemplo por Taylor, el polinomio interpolador de la derivada es el derivado del polinomio interpolador de la función primitiva, de modo que uno puede aprovechar los coeficientes para ambos menesteres. El problema será, pues, decidir qué clase de interpolación conviene para mitigar la disminución de la convergencia producida al añadir este paso previo. No soy un experto, pero la intuición me dice que se puede lograr complejidad n·log n con un poco de creatividad.

    Otras cosas chulas que te pueden interesar aunque no están directamente relacionadas con la obtención de decimales de números irracionales son el algoritmo de multiplicación de Karatsuba o la transformada rápida de Fourier.

    Después hay un asunto sobre PI que no he mencionado: PI es un número irracional trascendente, que significa que no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes racionales, como sí sería el caso de la raíz cuadrada de dos. Eso limita nuestra capacidad de maniobra a nivel de cálculo porque viene a significar que no puedo obtener PI trasteando con polinomios sino que he de pensar en límites uniformes de sucesiones de polinomios, y cuando nos vamos al infinito la cosa suele desmadrarse de maneras muy desagradables.

    Por fortuna, esto da igual en un ordenador, porque evidentemente, ningún ordenador puede manejar números irracionales. Ni siquiera puede manejar cualquier número racional, tan sólo aquellos con tantos decimales como la arquitectura de la máquina nos lo permita (aquí no hablamos de la brujería de la computación cuántica, pero la limitación vendría a ser la misma, aunque con más margen de cálculo y almacenamiento), así que al final, lo que uno hace es hallar aproximaciones muy precisas de PI jugando con polinomios de grado muy alto.

    En fin, si hay más preguntas al respecto, las responderé en la medida de lo posible.
    Última edición hecha por Jwym, Lord of Cinder, 17/08/2013 a las 23:03.
    opositivo ha agradecido este mensaje.
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  10. #9
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  11. #10
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    Di dos veces pi.

  12. #11
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    Conocía la FFT como referencia de cómo implementan los programas de simulación el análisis en el dominio de la frecuencia (algo en la línea de este vídeo), pero desconocía que se utilizara para la multiplicación de grandes enteros.
    Última edición hecha por opositivo, 22/08/2013 a las 3:33.
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  13. #12
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    Oh, qué bien, no sólo no demuestra que cualquier secuencia de números está contenida en pi, sino que lo afirma como obvio. Menuda osadía.

    Y para rematar intenta hacernos creer que una cantidad no numerable de información está en una cantidad numerable de código.

    Es tan fácil desmontar esa patraña como decir que cuál es la codificación del número e en esa parte de pi. Y espero que no sea tan ridículo de intentar limitarlo al lenguaje y me casque una letra e.

    Lo siento, sólo me he leído la primera parte, pero es que tengo prisa.

  14. #13
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    Murnau escribió: Ver mensaje
    Es tan fácil desmontar esa patraña como decir que cuál es la codificación del número e en esa parte de pi. Y espero que no sea tan ridículo de intentar limitarlo al lenguaje y me casque una letra e.
    Hombre, podría ser que a partir de cierto decimal de PI se obtuviera la expresión decimal de e, pero, fíjate, con tu despreocupado comentario, aparentemente acabas de demostrar que, si bien e y PI pueden ser normales, seguro que no pueden serlo los dos a la vez: Supongamos que así fuera; entonces, en particular, la expresión decimal de e se encuentra a partir de cierto decimal de PI, digamos en la posición n. Ahora, como e lo suponemos también normal, existe entonces una posición de e a partir de la cual se obtiene la expresión decimal de PI, digamos en la posición m. Pero esto es imposible, porque puesto que e ya andaba dentro de PI y suponemos que PI anda dentro de e, tenemos que a partir de la posición n+m de PI obtenemos de nuevo a PI. Es decir, PI es un decimal periódico y, por tanto, se trata de un número racional, lo cual ya sabemos que es falso. Ergo, la suposición es falsa y es imposible PI y e sean ambos normales.

    Pensad en posibles errores para este argumento, pero si no los hay estamos escribiendo el paper ya. ¡Fantástico!
    Moái Rapanui ha agradecido este mensaje.
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  15. #14
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    No les llames Paper. Le he cogido manía a ese nombre.
    Danica ha agradecido este mensaje.

  16. #15
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    No sé por qué debería prestar atención a esa sugerencia.
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    Vicent Andrés Estellés.


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