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  • 1 Mensaje de Jwym, Lord of Cinder
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Volúmenes de revolución

  1. #1
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    Volúmenes de revolución

    Hello!

    Tengo una pequeña duda. En un ejercicio me han dado una parábola y una recta, y después me han pedido que calcule el volumen de revolución respecto al eje OX. Miro a ver cuáles son los puntos de corte entre ambas funciones. El caso es que, como la parábola está por encima de la recta, tengo que restarle a la primera la segunda y después integrar con la fórmula de los volúmenes (pi·integral de f(x)^2). En su día el profesor nos dijo que primero había que calcular por separado los volúmenes de cada función y luego se restaban. Sin embargo, en todos los ejemplos que he visto pone justamente lo contrario: primero resta las funciones al cuadrado y después integra.

    ¿Cuál de las dos formas es la correcta? Lo pregunto porque los resultados son diferentes y me estoy volviendo crazy, xd. ¡Gracias! (:

  2. #2
    Avatar de Moái Rapanui moanin'
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    Jo, qué guay, la primera vez que expones una duda de la que tengo una mínima idea

    Que yo recuerde, se restan las funciones, se integra la diferencia, se eleva al cuadrado y se multiplica por pi. ¿No?

  3. #3
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    No lo sé. En los ejemplos que yo he visto, primero se eleva al cuadrado, luego se resta, después se integra y luego se multiplica por pi, xddd.

  4. #4
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    Menudo lío. Sabes para qué se hace cada cosa, ¿no?

  5. #5
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    Obviamente. De todos modos, ya sé cómo es, xd. Tal y como lo estaba haciendo estaba bien.

  6. #publi
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  7. #6
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    Es lo mismo calcular los volúmenes por separado y luego restar, que restar cuadrados y hacer el volumen. Lo que no es lo mismo es hacer el cuadrado de la resta (es decir, calcular el volumen generado por la función diferencia). Un sencillo contraejemplo nos da una idea del por qué: tomemos f(x) = 2 y g(x) = 1 y calculemos el volumen encerrado por f y g alrededor del eje OX entre 0 y 1:

    El volumen encerrado entre ambas rectas es PI*INT(f²(x) - g²(x))dx = PI*INT(3 dx) = 3*PI.

    Si tratamos de calcular el volumen de la función diferencia, que es h(x) = 1, es obvio que el volumen da PI.

    ¿Dónde anda la diferencia? Lo que ocurre es que en ambos casos estás generando sólidos dinstinos. En el primero se trata de una corona cilíndrica de radio mayor 2 y radio menor 1, y en el segundo se trata simplemente de un cilindro de radio 1.

    Observa que la segunda figura "encaja" dentro de la primera, de modo que si tuvieran el mismo volumen tendríamos que

    PI*(R²-r²)*h = PI*r²*h <=> r² = R²-r² <=> r = R/Sqrt(2),

    siendo R el radio mayor, r el radio menor y h la altura de los cilindros correspondientes; pero esto es obviamente falso, pues para nuestro caso obtendríamos que 1 = 2/Sqrt(2).

    En pocas palabras, lo que vemos es algo que ya sabíamos: el volumen no crece proporcionalmente con la longitud.

    Con el área sí que da lo mismo por la linealidad de la integral, pero en el volumen hay un cuadrado de por medio que anula esa propiedad.
    ........ ha agradecido este mensaje.
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  8. #7
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    Mis compañeros estaban haciendo justamente el cuadrado de la resta, de ahí que el resultado fuese diferente, >.<' Ya decía yo que no daba igual ni por asomo. Y uno de ellos erre que erre en que yo lo tenía mal, ¡Gracias! (:
    Jwym, Lord of Cinder ha agradecido este mensaje.

  9. #8
    Avatar de Jwym, Lord of Cinder Moderation gone hollow
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    Pues golpe de remo para ellos, porque básicamente están diciendo que (a-b)² = a² - b².
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    Vicent Andrés Estellés.


  10. #9
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    Lo sé, tiene narices la cosa, Y están en segundo de carrera, jé.

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