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  • 1 Mensaje de Orion

Subgrupos del grupo diédrico

  1. #1
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    Subgrupos del grupo diédrico

    Buenas,

    Abro tema porque estoy un poco desesperada, xd. Sé que es algo muy concreto, pero a ver si por casualidad alguien supiese del tema...

    Me piden que encuentre todos los subgrupos del grupo diédrico (transformaciones del cuadrado y sus simetrías) tal que D4={1, g, g^2, g^3, s, sg, sg^2, sg^3}. Sé que los órdenes de los subgrupos por el teorema de Lagrange son 1, 2, 4 y 8. He encontrado los siguientes:

    -<1> = {1} (subgrupo orden 1)
    -<g> = <g^3> = {1,g,g^2,g^3} (subgrupo cíclico orden 4)
    -<g^2> = {1,g^2} (subgrupo orden 2)
    -<s> = {1,s} (subgrupo orden 2)
    -<sg> = {1,sg} (subgrupo orden 2)
    -<sg^2> = {1,sg^2} (subgrupo orden 2)
    -<sg^3> = {1,sg^3} (subgrupo orden 2)
    -<D8> = {1, g, g^2, g^3, s, sg, sg^2, sg^3} (subgrupo de orden


    Hay otros dos subgrupos más de orden 4 que no son cíclicos:

    <H1> = {1,g^2,s,sg^2}
    <H2> = {1,g^2,sr,sg^3}

    Mi duda es cómo puedo averiguar que H1 y H2 son subgrupos de orden 4 de D4. Me lo ha dicho un compañero de clase, pero no acabo de verlo claro, xD. Muchísimas gracias,

  2. #2
    Avatar de Orion Muy Entendid@
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    ¿Puedes poner qué operación asignas a cada letra?

    Son presuntos grupos finitos, si van a ser grupos, tienen orden 4 porque tienen 4 elementos, queda demostrar que son cerrados bajo el producto, la existencia de inverso y asociativid.
    ........ ha agradecido este mensaje.


  3. #3
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    Uso la composición (gºs, por ejemplo). La cosa es que hago algo mal, inverso tienen y elemento neutro, pero diría que no son cerradas, porque cuando hago la operación entre elementos del subgrupo me dan otros elementos que no pertenecen a él y ahí es cuando me lío, >.<

    Gracias,

  4. #4
    Wiiiiii
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    California escribió: Ver mensaje
    Uso la composición (gºs, por ejemplo). La cosa es que hago algo mal, inverso tienen y elemento neutro, pero diría que no son cerradas, porque cuando hago la operación entre elementos del subgrupo me dan otros elementos que no pertenecen a él y ahí es cuando me lío, >.<

    Gracias,
    Es cerrada.

    <H1> = {1,g^2,s,sg^2}
    <H2> = {1,g^2,sr,sg^3}
    (Imagino que en H2 cometiste un error de tipeo y el elemento es sg y no sr).

    Ten en cuenta que sºs = 1 y g^4 = 1. Si operas teniendo en cuenta eso, te van a dar todos del mismo grupo.

    La explicación es bastante fácil: s es una reflexión, si tú reflejas un elemento dos veces, al final queda en su posición original. g es una rotación de 360/4 grados, si tú rotas cuatro veces 90º, al final has rotado 360º y el elemento queda en su posición inicial.

  5. #5
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    Vaaaale, ya sé dónde me he equivocado:

    Los subgrupos no son:

    <H1> = {1,g^2,s,sg^2}
    <H2> = {1,g^2,sr,sg^3}

    Sino:

    <H1> = {1,g^2,s,sg}
    <H2> = {1,g^2,sg^2,sg^3}

    Gracias a todos por la ayuda,
    Última edición hecha por ........, 03/11/2012 a las 13:35.

  6. #publi
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