¿Por qué Ln i = i*pi/2

  1. #1
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    ¿Por qué Ln i = i*pi/2

    Pues eso. Empezando a hacer ejercicios con números complejos me he encontrado con esto y no tengo ni p.idea de dónde viene. En realidad forma parte del desarrollo para calcular i^i, pero claro, me falla ese punto.

    Z = i^i
    Ln Z = i Ln i
    Ln Z = i * i * pi/2
    Ln Z = -pi/2

  2. #2
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    A mí eso me parece lenguaje morsa xD. Dios mío, es que lo he mirado varias veces, y me quedo con la misma cara de imbécil ._·.
    A ver si tienes suerte y Jaime o alguien sabe solucionarte eso :_.

  3. #3
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    Realmente es muy sencillo.

    Lo primero que haces es poner un logaritmo a ambos lados. Si las dos expresiones son iguales, no tiene que cambiar el resultado. Es como si divides ambas partes entre dos, o las multiplicas por x.

    En segundo lugar, una propiedad de los logaritmos es que si el elemento de dentro tiene una potencia (creo que se dice así en castellano), la potencia puede ponerse delante multiplicando. Por ejemplo:

    ln x^y = y ln x

    Por otra parte, i equivale a la raíz cuadrada de -1. Sí, es imposible. Pero por eso se llaman números complejos. Si te fijas, aunque aparezca i y parezca difícil resolverlo, se multiplica a sí mismo. Por lo que tienes raíz cuadrada de -1 elevada al cuadrado. Es decir, -1.

    El caso es que haciendo todo esto tendríamos la siguiente expresión:

    Ln Z = - Ln i

    Fácil, sencillo y para toda la familia. El problema es que ahí, por el camino, han cambiado Ln i por pi/2. La explicación no te la puedo dar, pues es la razón por la cual he abierto el hilo.

    Creo que puede tener relación con el hecho de que en un plano cartesiano (el típico con dos ejes, uno horizontal y otro vertical) un número que sólo tenga componente imaginario y el módulo sea uno adquiere el argumento 90º, o lo que es lo mismo, pi/2 en radianes. Pero no veo qué pinta el logaritmo en esa deducción.

  4. #4
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    A lo mejor estoy metiendo la gamba... pero creo recordar que una de las propiedades de los logaritmos complejos dice que Ln(-1)=i*pi y Ln(i)=i*pi/2. Así que sólo es aplicar esa propiedad, sustituyendo el Lni por i*pi/2. De ahí te queda que LnZ = i*i*pi/2, y al sustituir i^2 por -1... pues eso: LnZ = -pi/2.
    ..


  5. #5
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  6. #publi
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  7. #6
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    Por el momento funciono como tú dices, con la fe ciega. Pero podría darse el caso de que me pusieran otro número en lugar de la i, y entonces ya la hemos cagado. Léase (3+5i)^(i).

    Sé que un número complejo puede expresarse como e^(x+yi). Por lo que yo podría sustituir Ln i por Ln e^(i). O también puedo expresar el número así: (e^x)_y. En este caso (e^0)_i o, lo que es lo mismo, 1_i. Con esto último me quedaría en Ln 1_i. Pero sigo en un bucle donde no sé salir del logaritmo.

    Ataraxia, hecho.

  8. #7
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    Nunca he hecho potencias de exponente complejo, pero viendo tus cálculos y aplicando la Fórmula de Euler se me ocurre lo siguiente:

    e^(pi/2) = e^(pi*i)/2i = -1^(1/2i) por la fórmula de Euler.

    Realificando el exponente, -1^(1/2i) = -1^(-i/2).

    Ahora, te queda e^(pi/2) = -1^(-i/2) = Sqrt(-1)^-i = i ^-i. Sacando logaritmos te queda resuelta la duda.

    Bonito resultado que desconocía.
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  9. #8
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    Muchas gracias por al explicación. Casualmente hace un par de horas le he preguntado a mi profesor y la respuesta ha sido que era cuestión de fe ciega. Bueno, más bien que aparecía como una conversión directa. Pero te agradezco mucho que me haya facilitado una explicación.

  10. #9
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    Tu profesor no sabe lo suficiente. En matemáticas no se dice nada que no se pueda demostrar.
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  11. #10
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    No me dijo que no se pudiera demostrar, sino que no tengo por qué saber el desarrollo.

    De la misma manera que no tengo que ser capaz de convertir 4+3i a (e^4)_y. Existe la explicación y el desarrollo que me lleva a la conversión, pero no se me exige. Simplemente tengo que saber hacer la conversión con las tablas que me han dado y en función a eso sacar resultados.

    No quiero decir que sepa la hostia. Simplemente que el desarrollo completo sólo nos lo indica cuando lo cree necesario.

    Total, que he hecho hoy el examen y todo eso no ha servido para nada, porque el único ejercicio de complejos ha sido esta mierda:

    Sabiendo que z es un número real de módulo unitario, kalkula (a) y (b): z=(3b-2ai) / (4-3i)

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