Problema de Algebra

  1. #1
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    Problema de Algebra

    Hola en un examen de Algebra me pusieron esta pregunta:
    A= [ 1 1 1;1 1 -1 ;1 -1 1 ]
    -hallar matriz A^100


    Como lo tendria que hacer? aver si alguien me lo explica gracias..
    y abstenerse los que vayan a contestar tonterias plz...es algo aserio...

  2. #2
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    Hmmm , lo primero es sacar el polinomio caracteristico : x^3-3x^2+4=0 , de ahi sacas los autovalores x1 = 2 con multiplicidad algebraica 2 y x2=-1 con ma 1.
    Calculas el subespacio propio de x1 y te da x-y-z=O , entonces N1 = ((1,1,0),(1,0,1))
    Para N2 el subespacion es ( 1,-1,1).Entonces la diagonal seria [2 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 -1 ]
    Una matriz de paso P = [ 1 1 1 ; 1 0 -1 ; 0 1 -1 ] y P^ -1 = [ 1/ 3 2/3 -1/3;1/3 -1/3 2/3;1/3 -1/3 -1/3].Sabiendo que D=P^-1AP , A =PDP^-1 y entonces finalmente quedaria A^100 = P D^100 P^1 .

  3. #3
    Avatar de kidita Participativ@
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    que lio....

  4. #4
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    Creo que lo que tienes que hacer, o me suena algo de que me pusieron en bachillerato, era que tienes que hacer
    A^1
    A^2
    A^3
    Y supongo que habra algun tipo de relacion.

  5. #5
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    También creo que era algo así, de ir mirando las potencias y a la tercera encontrarás la relación.

  6. #publi
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  7. #6
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    Yo también lo primero en lo que he pensado ha sido en las potencias -de hecho eso habría hecho muy posiblemente-. Pero he hecho la prueba y con las tres primeras se puede sacar una relación que luego no se cumple con la cuarta y la quinta. Puede que haya realizado mal los cálculos, pero esto he deducido:

    A^2: [ 3,1,1 ; 1,3,-1 ; 1,-1,3 ]
    A^3: [ 5,3,3 ; 3,5,-3 ; 3,-3,5 ]

    De lo cual he decudido que:

    A^n: [ 2n-1,2n-3,2n-3 ; 2n-3,2n-1,-(2n-3) ; 2n-3,-(2n-3),2n-1 ]

    Por curiosidad he calculado las siguientes dos potencias y esto he visto:

    A^4 (calculando): [ 11,5,5 ; 5,11,5 ; 5,-5,11 ]
    A^4 (según la relación): [ 7,5,5 ; 5,7,-5 ; 5,-5,7 ]

    A^5 (calculando): [ 21,11,11 ; 11,21,-11 ; 11,-11,21 ]
    A^5 (según la relación): [ 9,7,7 ; 7,9,-7 ; 7,-7,9 ]

    Puede que sea la relación la que está mal planteada. Sólo quiero decir que no te fíes de las dos primeras potencias únicamente.

    Por otra parte, aunque álgebra me la regalaron y me acuerdo de bien poco, me suena de algo el procedimiento que plantea. A pesar de que en estos momentos no acierte a entender la última ecuación, salvo que D sea [ 1,0,0 ; 0,1,0 ; 0,0,1 ].

  8. #7
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    Yo creo que calculando las 4 o 5 primeras potencias hallarás alguna relación seguro.

  9. #8
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    xD pero por qué os complicais si ya está A^100 = P D^100 P^1 con D=[2 0 0 ; 0 2 0 ; 0 0 -1 ] y
    Una matriz de paso P = [ 1 1 1 ; 1 0 -1 ; 0 1 -1 ] y P^ -1 = [ 1/ 3 2/3 -1/3;1/3 -1/3 2/3;1/3 -1/3 -1/3].

  10. #9
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    Bueno, muchas gracias a todos, la verdad es que al final le acabe preguntando al profesor y es como zakgentebuena decia...xD MUCHAS GRACIAS

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