Geometria (en el espacio y un poquito en el plano)

  1. #16
    Avatar de dollhead Zero Posted
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    Moody escribió: Ver mensaje
    Dollhead, te entiendo a trozos. Esta tarde la voy a dedicar a estudiar geometria, asi que volvere a leerlo y donde tenga dudas o algo que preguntar, te comentare.

    Opositivo, las cosas las "veo", se lo que tengo que hacer. Si me piden que compruebe que un plano es paralelo a otro, se que si los vectores normales son paralelos, los planos tienen que serlo. Incluso le dije al profesor otro metodo para calcular la distancia de r a P: Q cualquiera de r, vector QP, angulo de QP y r; y por trigonometria sacas d(P,r). Aunque por mi metodo solo obtienes la distancia, no el punto de r mas cercano a P.
    El problema es el como. ¿Como obtengo los vectores normales? ¿Como compruebo que son paralelos (esto es, que son equivalentes*)? Y asi hasta la incognita mas tonta. Luego otro cantar es no saber demasiado bien lo que significa una ecuacion, aparte de la parametrica y la continua, que son claras como el agua.

    *¿Que demonios es equivalente? ¿En que ecuacion deberia igualarlo? ¿Igualo solo los terminos asociados a letras?


    De momento voy a ojear wikillerato, wikilibros, lo de juannemol, mi libro y los tochos. Os comentare dudas.
    Una ecuación de un plano tiene 3 variables, por ejemplo X, Y, Z. Supongo que entiendes lo que es la ecuación de una recta representada en dos ejes (que forman un plano 2D, como por ejemplo: z=3+2*x, en los ejes "X" y "Z"). Pues ahora observemos la ecuación z = 3 + 2*x - 3*y. Cuando y=0 estamos en el plano XZ. La ecuación queda como z=3+2*x-3*0=3+2*x, una recta sencilla. Ahora miramos un plano paralelo al XZ, pero que en vez de estar en y=0 está en y=0,1. La ecuación queda z=3+2*x-3*0,1=2,7+2*x. Para y=0,2 tendremos z=2,4+2*x, para y=0,3 tendremos otra recta z=2,1+2*x. Y así hasta el infinito y más allá xD. Total, que te puedes imaginar un plano como una infinidad de rectas que van formando un plano en el espacio 3D. El significado de cada término de la ecuación implícita te lo comenté en el post anterior.

    En cuanto a encontrar el vector perpendicular a un plano (en concreto perpendicular a otros dos vectores) también te lo comenté en el post anterior (encontrar G). Comprobar si dos vectores son paralelos es muy sencillo. Pongamos que tenemos el vector V = (V1,V2,V3) y el vector W = (W1,W2,W3). Si son paralelos significa que uno es combinación lineal de la otra. ¿Qué significa que sea combinación lineal? Pues significa que uno de los dos vectores, multiplicado por un número en concreto, da como resultado el otro.
    Así:

    V=a*W por ejemplo (en donde "a" es un valor que desconocemos, y poco importa)
    Así: (V1,V2,V3)=a*(W1,W2,W3)
    Por componentes tendremos:
    V1=a*W1
    V2=a*W2
    V3=a*W3
    Si aislamos "a" en las tres ecuaciones tendremos:
    a=V1/W1
    a=V2/W2
    a=V3/W3
    Así, tenemos que V1/W1=V2/W2=V3/W3.
    Por lo tanto, si se cumple que V1/W1=V2/W2=V3/W3 significa que V y W son paralelos. Si no se cumple, no lo son.

  2. #17
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    dollhead escribió: Ver mensaje
    En cuanto a las ecuaciones (del palo 3x+2y+5=z. Utilizaremos esta como ejemplo), pues imagínate los tres ejes de coordenadas. Para el punto en donde el plano corta con el eje Z, tienes x=0; y=0 (le llamaremos punto O, en donde z=5). Ahí ya tienes un punto de referencia. Ahora piensa que te mantienes en el plano XZ. En este plano y=0. Así que tienes una recta que sale del punto O (ecuación de la recta: z=3x+5). El "3", lógicamente es la pendiente de dicha recta. Ahora miramos el plano YZ (en donde x=0, lógicamente). Del punto O sale una recta (ecuación de la recta: z=5+2y) con una pendiente de 2. Ya tienes un punto y dos rectas inclinadas. Si lo unes todo tienes un plano. ¿Lo ves mentalmente?

    Así, el 5 es el punto de corte en el eje Z, el 3 es la pendiente de la intersección entre el plano de la ecuación y el plano XZ, el 2 es la pendiente entre el plano de la ecuación y el plano YZ. Esto creo que se llama forma implícita, ¿no?

    Para pasar a una definición vectorial, es fácil. Hemos visto que el punto (0,0,5) en este caso era el que cortaba el plano con el eje Z. Es un punto sencillo. De él hemos visto dos rectas que salen. La pendiente de dichas rectas la hemos visto, y es immediata de obtener. Para el caso de la recta z=3x+5, puesto que tiene pendiente 3, significa que por cada unidad que avanzamos en la dirección X, avanzamos 3 en la dirección Z. Así el vector paralelo a dicha recta sería por ejemplo el (1,0,3), cuya componente Y es cero puesto que la Y no interviene en esta recta. De la misma forma, para la ecuación z=5+2y tenemos el vector (0,1,2).
    ¿Por que pones Z en un lado y lo demas en el otro? ¡Si queda mucho mas bonito (y claro) con todo en un lado!
    La forma implicita o general de la recta, hasta donde yo se, es:
    ax+by+cz+d=0
    a'x+b'y+c'z+d'=0
    Representa dos planos que se cortan en una recta.
    Tal y como tu lo pones, me suena de la ¿explicita?, ¿punto pendiente? que di hace un año.

    dollhead escribió: Ver mensaje
    Así tenemos una forma vectorial de definir el plano:

    - Punto O de coordenadas (0,0,5)
    - Vector (1,0,3)
    - Vector (0,1,2)

    Un punto genérico en el espacio del plano se puede definir, por lo tanto, de la siguiente forma:

    P = (0,0,5) + a*(1,0,3) + b*(0,1,2)
    en donde a y b son dos valores cualesquiera. Esto no sé si se llama forma vectorial, continua o qué.

    Para pasar a la paramétrica (si no me confundo con los nombres xD) no hay más que separar por componentes la forma anterior:

    P = (P1,P2,P3)

    de forma que ahora tendremos

    eje x: P1 = 0 + a*1 + b*0
    eje y: P2 = 0 + a*0 + b*1
    eje z: P3 = 5 + a*3 + b*2
    Bien, la parametrica de un plano la tengo clara. Lo que has puesto antes, que luego desarrollarias en la parametrica, creo que es la forma vectorial.

    dollhead escribió: Ver mensaje
    Y no sé si querías saber más cosas. Si algo no lo he explicado claro coméntalo. Espero no haberme liado con esto, no lo he utilizado desde que dejé el bachillerato xD. Bueno, eso, creo que no hay ninguna complicación, ¿no? No estoy acostumbrado a explicar cosas a nivel bachillerato así que si me he saltado algo avisa xD.
    Me he liado xD, ¿Alguien me puede decir de que formas se puede representar una recta en el espacio? ¿Y un plano? ¿Como se llega hasta ellas? ¿Que representa cada elemento en ellas? (ahora empiezo a repetir las preguntas...)

    dollhead escribió: Ver mensaje
    Edit:

    Ahora me acabo de acordar que también has comentado lo de obtener la perpendicular. Pues no sé, por ejemplo, una vez tienes los dos vectores que definen el plano (junto con el punto), pues los utilizas para buscar un vector perpendicular a ellos. Para eso puedes utilizar un sistema de 2 ecuaciones dos incógnitas. Llamamos G = (G1, G2, G3) al vector perpendicular al plano que buscamos, llamamos V = (V1, V2, V3) y W = (W1, W2, W3) a los dos vectores del plano. Sabemos que como V y G, y W y G son perpendiculares, entonces V*G=0; W*G=0. La longitud del vector G no está definida, así que por ejemplo fijamos una de sus componentes (G1=1). Así tenemos dos ecuaciones (V*G=0 y W*G=0) y dos incógnitas (G2 y G3).
    No me he enterado muy bien. Pero para obtener un vector perpendicular a los dos que definen un plano, mejor seria hacer el producto vectorial, ¿No?
    Creo que preguntaba por la perpendicular de una recta a otra. Aunque ahora que lo pienso, no es como en el plano, y ahora hay infinitas perpendiculares.
    Me replanteare mis dudas sobre perpendiculares (lo que saco en claro es que ya no se ni lo que no se).
    dollhead escribió: Ver mensaje
    En cuanto a obtener las ecuaciones implícitas a partir de los vectores y el punto (o de la paramétrica) me parece que es immediato, siguiendo el proceso que he comentado al princpio pero en sentido inverso. No sé si me dejo alguna cosa...
    No lo tengo claro.
    dollhead escribió: Ver mensaje
    Para saber si un vector es paralelo al plano sólo tienes que multiplicarlo por el vector G que hemos comentado, y si lo es, la multiplicación dará cero. Para saber si otro plano es perpendicular al plano que tratamos, sólo basta con comparar sus vectores perpendiculares respectivos. Éstos serán paralelos si los planos son paralelos. Para ver si dos vectores son paralelos (vectores R y S por ejemplo), sólo tienes que comprobar si R1/S1=R2/S2=R3/S3 (relaciones de semejanza).
    Vale, bien.
    dollhead escribió: Ver mensaje
    Una ecuación de un plano tiene 3 variables, por ejemplo X, Y, Z. Supongo que entiendes lo que es la ecuación de una recta representada en dos ejes (que forman un plano 2D, como por ejemplo: z=3+2*x, en los ejes "X" y "Z"). Pues ahora observemos la ecuación z = 3 + 2*x - 3*y. Cuando y=0 estamos en el plano XZ. La ecuación queda como z=3+2*x-3*0=3+2*x, una recta sencilla. Ahora miramos un plano paralelo al XZ, pero que en vez de estar en y=0 está en y=0,1. La ecuación queda z=3+2*x-3*0,1=2,7+2*x. Para y=0,2 tendremos z=2,4+2*x, para y=0,3 tendremos otra recta z=2,1+2*x. Y así hasta el infinito y más allá xD. Total, que te puedes imaginar un plano como una infinidad de rectas que van formando un plano en el espacio 3D.

    dollhead escribió: Ver mensaje
    El significado de cada término de la ecuación implícita te lo comenté en el post anterior.
    ¿No seria la explicita? Es que nunca he visto la implicita con la z a un lado y n+ax en el otro.

    dollhead escribió: Ver mensaje
    En cuanto a encontrar el vector perpendicular a un plano (en concreto perpendicular a otros dos vectores) también te lo comenté en el post anterior (encontrar G).
    Si, eso si.

    dollhead escribió: Ver mensaje
    Comprobar si dos vectores son paralelos es muy sencillo. Pongamos que tenemos el vector V = (V1,V2,V3) y el vector W = (W1,W2,W3). Si son paralelos significa que uno es combinación lineal de la otra. ¿Qué significa que sea combinación lineal? Pues significa que uno de los dos vectores, multiplicado por un número en concreto, da como resultado el otro.
    Así:

    V=a*W por ejemplo (en donde "a" es un valor que desconocemos, y poco importa)
    Así: (V1,V2,V3)=a*(W1,W2,W3)
    Por componentes tendremos:
    V1=a*W1
    V2=a*W2
    V3=a*W3
    Si aislamos "a" en las tres ecuaciones tendremos:
    a=V1/W1
    a=V2/W2
    a=V3/W3
    Así, tenemos que V1/W1=V2/W2=V3/W3.
    Por lo tanto, si se cumple que V1/W1=V2/W2=V3/W3 significa que V y W son paralelos. Si no se cumple, no lo son.
    Vale.

    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    Calcular el vector normal a un plano es sencillo: tienes el modo formal y el modo cutre.

    El modo formal es el producto vectorial de los vectores que generan el plano (los dos de la ecuación vectorial). El otro modo es pasar la ecuación del plano a su forma general Ax+By+Cz=D y así el vector normal es el (A,B,C).

    Para comprobar que dos vectores (normales o no) son paralelos basta con ver que uno es múltiplo del otro. Es decir, que si multiplico todas las componentes del primero por un cierto número, obtengo las componentes del segundo.

    Con las distancias, cuidado. Lo mejor, aunque sea largo, es calcular la proyección ortogonal del punto sobre el plano.
    Raro es que me den una ecuacion distinta a la general. ¿Es posible obtener de la general los dos vectores?
    Lo de que A, B y C son los componentes del vector normal, es casi una novedad. En el examen no lo sabia.


    Dudas:

    ¿Como compruebo que un punto esta en una recta o plano?
    Para obtener un punto de una recta o un plano, ¿Basta con darle un valor a una de la incognitas X, Y o Z?
    ¿Como obtengo dos vectores y un punto a partir de la Ec. implicita del plano?
    ax+by+cz+d=0
    ¿Como obtengo la parametrica de la recta a partir de la Ec. implicita de la recta?
    ax+by+cz+d=0
    a'x+b'y+c'z+d'=0

  3. #18
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    Moody escribió: Ver mensaje
    Raro es que me den una ecuacion distinta a la general. ¿Es posible obtener de la general los dos vectores?
    Sí: basta con generar tres puntos y escribir los dos vectores que van desde uno a los otros dos (recordemos que un plano está unívocamente determinado por tres puntos no alineados).

    ]Lo de que A, B y C son los componentes del vector normal, es casi una novedad. En el examen no lo sabia.
    En general, el vector normal a una superfície por un punto de la misma es el gradiente de la superficie (vector de derivadas parciales) evaluado en el punto. Como un plano viene dado por un polinomio de primer grado, el gradiente es constante en todos los puntos y coincide con los coeficientes A, B y C de su ecuación general.


    Dudas:

    ¿Como compruebo que un punto esta en una recta o plano?
    Sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano y comprobando que se verifica la igualdad.

    Para obtener un punto de una recta o un plano, ¿Basta con darle un valor a una de la incognitas X, Y o Z?
    Debes dar valores a las incógnitas necesarias para que te quede un determinada. En el caso de una recta, basta con dar un valor a una variable (variedad de dimensión 1), en el caso de un plano, como tienes dos grados de libertad (pues es una variedad de dimensión 2), tienes que dar valor a dos incógnitas y despejar la tercera.

    ¿Como obtengo dos vectores y un punto a partir de la Ec. implicita del plano?
    ax+by+cz+d=0
    Como dije antes, obteniendo tres puntos del plano que no estén alineados y tomando uno de ellos y los dos vectores que lo unen con cada uno de los otros dos:

    Si sacas los puntos a, b y c; la ecuación vectorial del plano será

    P = a + k(ab) + l(ac),

    dónde (ab) denota el vector que va del punto a al punto b.

    ¿Como obtengo la parametrica de la recta a partir de la Ec. implicita de la recta?
    ax+by+cz+d=0
    a'x+b'y+c'z+d'=0
    No te líes. Hay modos de pasar de cualquier forma a cualquier otra forma, pero lo sensato es pasar primero a la vectorial y de ahí a la que necesites. Ese es un camino que nunca tiene pérdida.
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  4. #19
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    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    Sí: basta con generar tres puntos y escribir los dos vectores que van desde uno a los otros dos (recordemos que un plano está unívocamente determinado por tres puntos no alineados).
    Vale, buena idea.

    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    En general, el vector normal a una superfície por un punto de la misma es el gradiente de la superficie (vector de derivadas parciales) evaluado en el punto. Como un plano viene dado por un polinomio de primer grado, el gradiente es constante en todos los puntos y coincide con los coeficientes A, B y C de su ecuación general.
    Temo que eso no lo he entendido del todo.

    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    Sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano y comprobando que se verifica la igualdad.
    Bien.

    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    Debes dar valores a las incógnitas necesarias para que te quede un determinada. En el caso de una recta, basta con dar un valor a una variable (variedad de dimensión 1), en el caso de un plano, como tienes dos grados de libertad (pues es una variedad de dimensión 2), tienes que dar valor a dos incógnitas y despejar la tercera.
    Bien tambien.

    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    Como dije antes, obteniendo tres puntos del plano que no estén alineados y tomando uno de ellos y los dos vectores que lo unen con cada uno de los otros dos:

    Si sacas los puntos a, b y c; la ecuación vectorial del plano será

    P = a + k(ab) + l(ac),

    dónde (ab) denota el vector que va del punto a al punto b.
    Vale, la notacion me habia liado un poco, pero ya si.

    Jaime Listo escribió: Ver mensaje
    No te líes. Hay modos de pasar de cualquier forma a cualquier otra forma, pero lo sensato es pasar primero a la vectorial y de ahí a la que necesites. Ese es un camino que nunca tiene pérdida.
    Bueno. Ahora que se que con 3 puntos saco la vectorial, pues tienes razon...


    Que facil parece ahora todo.
    En una Ec. Implicita de la recta, ¿Que indica el valor d?
    Igual suena tonto preguntarlo, porque significa que se menos cosas de las que, tras tantos "Bueno", podia parecer que yo se.

  5. #20
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    Moody escribió: Ver mensaje
    Temo que eso no lo he entendido del todo.
    No hace falta que me entiendas, basta con que me creas.

    Que facil parece ahora todo.
    En una Ec. Implicita de la recta, ¿Que indica el valor d?
    Igual suena tonto preguntarlo, porque significa que se menos cosas de las que, tras tantos "Bueno", podia parecer que yo se.
    Entiendo que te refieres a la ecuación implícita de un plano, no de una recta.

    La D es el término independiente y simplemente indica que un plano que tiene una cierta inclinación en el espacio (dicha inclinación viene determinada por A, B y C; es decir, por su vector normal) se halla más o menos lejos del origen de coordenadas.

    Si la D es cero, entonces el plano contiene al Orígen (0,0,0).
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  6. #publi
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  7. #21
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    ¿Todo eso se da en bachillerato? Lo digo porque yo estoy en 2º y no me suena nada de lo que estáis hablando, lo que mas se acerca es dibujo técnico, pero ahí no usamos fórmulas.





  8. #22
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    Todos mis alumnos de bachiller científico dan geometría del espacio en segundo.
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  9. #23
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    Bueno, yo estoy haciendo el tecnológico, y mirando el libro si que está el tema, pero no se yo si llegaremos a darlo, no creo que nos de tiempo.





  10. #24
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    Ei Moody. Perdona que no haya tenido tiempo de contestarte. Jaime te ha solucionado bien las dudas. Sólo te haré un comentario acerca del significado de los términos de la ecuación del plano. Pongamos que tenemos una ecuación genérica: a*x + b*y + c*z + d = 0

    ¿Cómo imaginarte este plano mentalmente? Pues una forma sencilla es imaginarse los tres ejes (X, Y, Z), y un plano que intersecta en ellos.

    En la intersección de cualquier eje, las componentes de los dos otros ejes siempre son cero (pues el sistema es ortogonal). Así:

    En el eje X: y=0; z=0 --> a*x +b*0 + c*0 + d = 0 --> x = -d/a

    En el eje Y: x=0; z=0 --> a*0 +b*y + c*0 + d = 0 --> y = -d/b

    En el eje Z: x=0; y=0 --> a*0 +b*0 + c*z + d = 0 --> z = -d/c

    Así, te puedes imaginar el plano a partir del triángulo formado por los tres puntos de intersección entre los ejes y el plano.
    El triángulo que te imaginas será: (-d/a,0,0) ; (0,-d/b,0) ; (0,0,-d/c)

    Es una forma sencilla de imaginarse el plano. También puedes imaginarte las pendientes del plano en las intersecciones con los planos XY, XZ, YZ sabiendo que en el plano XY --> z=0; en el XZ --> y=0; en el YZ --> x=0. Para cada una de las tres condiciones, la ecuación del plano se convierte en una recta contenida en el plano correspondiente, cuya pendiente es fácil de ver (esto ya te lo comenté en el primer post).



    Y una última cosa. Para obtener la ecuación de un plano a partir de tres puntos cualesquiera, una forma lógica y fácil de entender es plantear el sistema siguiente:

    Ecuación general: a*x + b*y + c*z + d = 0
    La dividimos toda por d: (a/d)*x + (b/d)*y + (c/d)*z + 1 = 0
    Cambio de notación:
    (a/d)=A
    (b/d)=B
    (c/d)=C
    Nueva ecuación: A*x + B*y + C*z + 1 = 0
    Ahora substituyes tres veces en esta ecuación los valores de las variables X, Y, Z para cada uno de los tres puntos que forman el plano. Tendrás tres ecuaciones y tres incógnitas (A, B y C). Encuentras los valores de A, B y C y ya está. Ya tienes la ecuación general. A lo mejor no es el método más eficaz, pero es lógico y fácil de entender.

    Si en vez de tres puntos te dan dos puntos y un vector, sólo tienes que sumarle el vector a uno de los puntos y tendrás el tercer punto (y así podrás encontrar la ecuación general con el mismo método de antes). Si tienes un punto y dos vectores pues sumándole al punto que tengas un vector obtienes otro punto del plano, y sumándole ahora el segundo vector, obtienes un tercer punto. Y ya está.

    Una forma más rápida sería ortogonalizar los vectores del plano y girarlos para que coincidan con los planos XZ y YZ por ejemplo, pero vaya, si no vas apurado de tiempo para resolver un examen, pues no hace falta demasiado. Si sabes utilizar matrices, lo que puedes hacer es resolver más rápidamente el sistema de 3 ec's 3 inc.

    ¡Suerte con el examen!

  11. #25
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    ¡Hola!

    El examen es en dos dias (creo). En principio se hacerlo todo y hasta con bastante imaginacion.
    Solo hay dos problemas (que en realidad creo que es uno), no se hacer lo del haz de planos (obtener todos los planos que pasan por una recta) y se me da algo mal hayar el lugar geometrico que equidista en todos sus puntos de dos planos (esto es, un plano cuyos puntos equidistan de los otros dos planos). Puntualizar que, por la cuenta de la vieja, creo que se hacerlo si son paralelos, pero si no... no.
    Lo primero lo "tengo" en apuntes, le echare un vistazo a ver si saco algo en claro. Lo segundo no lo tengo y al parecer yo deberia saber hacerlo por arte de magia.
    Si alguien tuviera a bien hablar de haces de planos y de obtener en plano que equidista de otros dos planos que se cortan, se lo agradeceria.


    PD:
    Pongo en tela de juicio lo que dijo Jaime sobre cosas que no entendi en absoluto y que yo deberia creer.

    Entiendo algo mejor lo de la D despues de leeros, jrasias.

  12. #26
    Profesor de Pociones
    Registrad@ el
    25/12/2008
    Localidad
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    21 veces
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    El examen me salio bien.

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