Geometria (en el espacio y un poquito en el plano)

  1. #1
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    Geometria (en el espacio y un poquito en el plano)

    Voy fatal en el tema de geometria en el espacio. Los vectores mas o menos (regular), pero en cuanto hay que irse a algo mas serio, como ecuaciones de rectas y planos, flaqueo.

    Me niego a seguir dandole el coñazo a MissMad para acabar descubriendo que cada pregunta que le hago luego implica mas preguntas y repetir las preguntas. Se va a hartar de mi.

    ¿Alguien sabe de una pagina web donde pueda aprender estas cosas sin molestar a nadie?

  2. #2
    Avatar de Blau o ci ci
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    Ostia! Cuando yo hice la sele prácticamente solo salía ese tema xDD Así que puse mi nombre y lo entregué.

    Evidentemente, saqué un zero xD

    Suerte! xdd


  3. #3
    lirdnam narg namor
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    ¿Has probado a mirar en wikillerato o wikilibros?

  4. #4
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    Si, pero me entero de poco. ¿No hay ninguna pagina para tontos?

  5. #5
    lirdnam narg namor
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    Cuando yo estaba en bachiller solía ver videos de 'juannemol' en Youtube.
    Me gustaba cómo explicaba.
    Lo que no sé es si tendrá videos de todo lo que te interesa.

  6. #publi
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  7. #6
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    Lo buscare.

  8. #7
    Avatar de dollhead Zero Posted
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    ¿Qué no entiendes de rectas y planos?
    Es que a lo mejor me olvido de cosas, pero no se me ocurre ninguna complicación.

  9. #8
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    Mismamente, las ecuaciones, lo que significa cada numero en una ecuacion, lo que se puede hacer con ellas, como pasar de la implicita a las anteriores (continua y parametrica), obtener cosas perpendiculares y paralelas... y posiblemente me deje algo mas.

  10. #9
    Avatar de dollhead Zero Posted
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    En cuanto a las ecuaciones (del palo 3x+2y+5=z. Utilizaremos esta como ejemplo), pues imagínate los tres ejes de coordenadas. Para el punto en donde el plano corta con el eje Z, tienes x=0; y=0 (le llamaremos punto O, en donde z=5). Ahí ya tienes un punto de referencia. Ahora piensa que te mantienes en el plano XZ. En este plano y=0. Así que tienes una recta que sale del punto O (ecuación de la recta: z=3x+5). El "3", lógicamente es la pendiente de dicha recta. Ahora miramos el plano YZ (en donde x=0, lógicamente). Del punto O sale una recta (ecuación de la recta: z=5+2y) con una pendiente de 2. Ya tienes un punto y dos rectas inclinadas. Si lo unes todo tienes un plano. ¿Lo ves mentalmente?

    Así, el 5 es el punto de corte en el eje Z, el 3 es la pendiente de la intersección entre el plano de la ecuación y el plano XZ, el 2 es la pendiente entre el plano de la ecuación y el plano YZ. Esto creo que se llama forma implícita, ¿no?

    Para pasar a una definición vectorial, es fácil. Hemos visto que el punto (0,0,5) en este caso era el que cortaba el plano con el eje Z. Es un punto sencillo. De él hemos visto dos rectas que salen. La pendiente de dichas rectas la hemos visto, y es immediata de obtener. Para el caso de la recta z=3x+5, puesto que tiene pendiente 3, significa que por cada unidad que avanzamos en la dirección X, avanzamos 3 en la dirección Z. Así el vector paralelo a dicha recta sería por ejemplo el (1,0,3), cuya componente Y es cero puesto que la Y no interviene en esta recta. De la misma forma, para la ecuación z=5+2y tenemos el vector (0,1,2).

    Así tenemos una forma vectorial de definir el plano:

    - Punto O de coordenadas (0,0,5)
    - Vector (1,0,3)
    - Vector (0,1,2)

    Un punto genérico en el espacio del plano se puede definir, por lo tanto, de la siguiente forma:

    P = (0,0,5) + a*(1,0,3) + b*(0,1,2)
    en donde a y b son dos valores cualesquiera. Esto no sé si se llama forma vectorial, continua o qué.

    Para pasar a la paramétrica (si no me confundo con los nombres xD) no hay más que separar por componentes la forma anterior:

    P = (P1,P2,P3)

    de forma que ahora tendremos

    eje x: P1 = 0 + a*1 + b*0
    eje y: P2 = 0 + a*0 + b*1
    eje z: P3 = 5 + a*3 + b*2

    Y no sé si querías saber más cosas. Si algo no lo he explicado claro coméntalo. Espero no haberme liado con esto, no lo he utilizado desde que dejé el bachillerato xD. Bueno, eso, creo que no hay ninguna complicación, ¿no? No estoy acostumbrado a explicar cosas a nivel bachillerato así que si me he saltado algo avisa xD.

    Edit:

    Ahora me acabo de acordar que también has comentado lo de obtener la perpendicular. Pues no sé, por ejemplo, una vez tienes los dos vectores que definen el plano (junto con el punto), pues los utilizas para buscar un vector perpendicular a ellos. Para eso puedes utilizar un sistema de 2 ecuaciones dos incógnitas. Llamamos G = (G1, G2, G3) al vector perpendicular al plano que buscamos, llamamos V = (V1, V2, V3) y W = (W1, W2, W3) a los dos vectores del plano. Sabemos que como V y G, y W y G son perpendiculares, entonces V*G=0; W*G=0. La longitud del vector G no está definida, así que por ejemplo fijamos una de sus componentes (G1=1). Así tenemos dos ecuaciones (V*G=0 y W*G=0) y dos incógnitas (G2 y G3).

    En cuanto a obtener las ecuaciones implícitas a partir de los vectores y el punto (o de la paramétrica) me parece que es immediato, siguiendo el proceso que he comentado al princpio pero en sentido inverso. No sé si me dejo alguna cosa...

    Para saber si un vector es paralelo al plano sólo tienes que multiplicarlo por el vector G que hemos comentado, y si lo es, la multiplicación dará cero. Para saber si otro plano es perpendicular al plano que tratamos, sólo basta con comparar sus vectores perpendiculares respectivos. Éstos serán paralelos si los planos son paralelos. Para ver si dos vectores son paralelos (vectores R y S por ejemplo), sólo tienes que comprobar si R1/S1=R2/S2=R3/S3 (relaciones de semejanza).
    Última edición hecha por dollhead, 21/01/2010 a las 13:22.

  11. #10
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    Moody escribió: Ver mensaje
    Me niego a seguir dandole el coñazo a MissMad para acabar descubriendo que cada pregunta que le hago luego implica mas preguntas y repetir las preguntas. Se va a hartar de mi.

  12. #11
    Avatar de opositivo Mega Usuari@
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    ¿Has probado a sujetar folios en el aire y atravesarlos con lápices? Me explico:

    Yo era incapaz de entender las fórmulas. Me parecían un montón de numeritos sin sentido. Tenía compañerxs de clase que aplicaban cosas mecánicamente y les daba el resultado, pero yo no sabía hacerlo porque siempre me paraba a pensar en por qué estaba haciendo.

    Un día cogí y me busqué un sitio con tres ejes de coordenadas. Me puse mirando a una de las esquinas de la clase. La esquina propiamente dicha, donde se juntaban las dos paredes: el eje Z. El zócalo donde se juntaban la pared que estaba a mi izquierda y el suelo: el eje X. El otro zócalo, donde se juntaban la pared de mi derecha y el suelo: el eje Y. El origen, evidentemente, era el punto donde se unían los dos zócalos.

    Saqué una mano del bolsillo y apoyé el dedo índice en el suelo. Miré qué distancia había hasta el suelo. Me di cuenta de que, al estar apoyado, la distancia era nula. Sonreí, porque el cabrón del eje Z se quedó sin altura -jeje-, mi dedo estaba en Z=0. Cogí un bolígrafo y lo puse paralelo al zócalo de la izquierda. El zócalo de la izquierda era el eje X, así que mi dedo tenía el valor X=distancia desde mi dedo hasta el zócalo de la derecha siguiendo la línea que marcaba el boli. Supongamos que eran 30cm. Pille un lapicero y lo puse paralelo al zócalo de la derecha. El valor Y=distancia desde mi dedo hasta el zócalo de la izquierda, siguiendo la línea que marcaba el lápiz. Digamos que 45cm.

    ¡Tenía mi dedo en X=30, Y=45 y Z=0!

    Levanté el dedo y lo puse en otro punto del suelo. Volví a poner el boli y el lápiz y miré las distancias. Había conseguido situar mi dedo en cualquier punto del plano Z=0.

    Más tarde, perfeccioné mi capacidad. En vez poner el dedo en el suelo, me lo puse en la punta de la nariz. Miré qué distancia había en vertical hasta el suelo. Y aquí ya no me hizo tanta gracia, porque Z era más o menos 160cm. Pero bueno, respiré hondo, y puse un lápiz paralelo al suelo, con la goma en mi nariz y la punta apuntando directamente a la pared de la derecha. El lápiz estaba al mismo tiempo paralelo al suelo y a la pared de la izquierda. La distancia X era la que había desde la punta de mi nariz hasta la pared de la derecha. Como tenía la nariz justo encima del primer punto que había marcado con el dedo, había 30cm. Pillé el boli y puse un extremo en mi nariz y el otro apuntando a la pared de la izquierda. Estaba paralelo al suelo y a la pared de la derecha, luego la distancia Y era la que había desde mi nariz hasta la pared de la izquierda, casualmente 45cm.

    ¡Tenía mi dedo en X=30, Y=45 y Z=160!

    Me propuse calcular cuánto mediría una línea que fuera desde el punto donde había puesto por primera vez el dedo en el suelo hasta mi nariz. Como la distancia a ambas paredes era la misma, el cálculo no era muy difícil: había justamente 160cm. Pero claro, había que darle algún sentido, así que pensé en restar.

    En mi nariz, X=30, Y=45, Z=160.
    En el suelo, X=30, Y=45, Z=0.

    Variación de X= 30-30 = 0
    Variación de Y= 45-45 = 0
    Variación de Z= 160-0 = 0

    Vaya, pues sí, resulta que mi línea era un vector (0,0,160), tomando como punto de partida el punto del suelo, (30,45,0).

    Una vez hecho esto, perfeccioné mi técnica un poco más todavía: puse una chincheta en el suelo, justo en el punto donde había puesto el dedo la primera vez. Y dí un paso hacia atrás. Volví a usar el lápiz y el boli sobre mi nariz para ver que estaba a 50cm de la pared de la derecha, luego X=50, y a 80cm de la pared de la izquierda, Y=80. La altura seguía siendo la misma, ya que no crecí ni mengué en cinco minutos, Z=160. Emocionado, intenté miré la distancia desde mi nariz hasta la chincheta, pero en este caso no fui capaz de saberla al momento. Da igual, me acordé de cómo lo había demostrado antes:

    Variación de X= 50-30 = 20
    Variación de Y= 80-45 = 35
    Variación de Z= 160-0 = 160

    ¡Toma esa! La distancia, línea, desde la chincheta hasta mi nariz era un vector (20,35,160) a partir del punto de partida (30,45,0).

    Pensé todavía un poco más. Tenía tres puntos: el del dedo del principio, el de mi nariz, y el de mi nariz después de moverme. Y tenía dos líneas: desde el punto del principio hasta el de mi nariz y desde el punto del principio hasta el de mi nariz después de moverme. Eso me sonaba de clase.

    Cogí un folio y lo puse en vertical, de forma que uno de sus cantos quedara justo encima de la chincheta. ¡Ese canto estaba colocado sobre la primera línea que había calculado! Manteniéndolo así, con un canto siempre en vertical, lo giré hasta que se quedara apuntando a mi nariz. Pille algo que pintara y dibujé sobre el papel la línea que iba de mi nariz a la chicheta. ¡Tenía en el mismo folio la primera línea y la segunda! Ese folio era una maravilla, no sólo tenía eso, sino que, si fuera un poco más grande, podría dibujar sobre él el punto de la chincheta, el de mi nariz y el de mi nariz después de moverme.

    ¿Quién coño quería fórmulas? Yo tenía mi propio entorno con los tres ejes de coordenadas (los zócalos y la esquina), mi punto personal para poner donde me diera la gana (la punta del dedo), todas las líneas que quisiera (las distancias desde la punta del dedo hasta donde yo tuvera la nariz), y un montón de planos (la carpeta llena de folios aburridos).

    Podían echarme lo que les diera la gana, que yo era capaz de ponerlo todo en mi entorno personal y sabía sumar y restar para calcular las distancias. Claro que esto tenía un pequeño problemilla, y es que en los exámenes no me dejaban levantarme para ir a la esquina de la clase con mis bolis, lápices folios a hacer el gilipollas. Con el tiempo, sustituí el suelo por mi mesa, que era un poco menos cantoso. Como mi método era poco ortodoxo, en los exámenes hacía cosas que matemáticamente eran dudosa validez, pero la profesora no fue capaz de decirme que estuviera mal ni un solo ejercicio, porque los resultados demostraban que el método funcionaba. Meses más tarde, empecé a entender qué relación tenían las fórmulas con mis malabares, y aprendí a expresar las chinchetas, narices y folios de forma que ella pudiera entenderlo. Hoy, no tengo necesidad de andar jugando en mitad de un examen, pero todavía hay días en que hago cosas raras cuando no "veo" un ejercicio. Y es que de poco sirve que yo ponga correctamente el resultado de un ejercicio si no soy consciente de qué es lo que he hecho.

    Esto tiene una pequeña limitación: sólo tengo tres dimensiones en el entorno MundoReal. Si me toca trabajar con más dimensiones estoy jodido. Pero de la misma manera que confié en que el método para calcular la distancia desde mi nariz a la chincheta funcionara siempre, aunque no estuviera la nariz justo en la vertical, confío en que las cosas que sirven para tres dimensiones sirvan para más.

    Sin olvidar pedirte perdón por haber escrito esta chapa, en caso de que lo hayas entendido y te parezca interesante, puedes preguntar aquellas cosas que no consigas visualizar como, por ejemplo, cómo saber si dos planos son paralélos, si una línea está dentro de un plano, si una línea es perpendicular a un plano, cómo dibujar un plano paralelo a una línea y perpendicular con respecto al eje X, etc.

    PD: Es muy muy importante tener cuidado a la hora de poner el lápiz en tu nariz (es mejor apoyar la goma para no pincharte), y el boli (acuérdate de taparlo).
    Última edición hecha por opositivo, 21/01/2010 a las 3:38.
    Follar contigo debe ser como leer poesía - Undefined speaker 08/09/09
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  13. #12
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    Estoy con Opositivo, yo era nula para visualizar las rectas, planos y demás. Pero con ayuda de compañeros, folios, dedos y lápices, fui cogiéndole el truco.

    Aún así, me parece de las partes más difíciles de matemáticas de bachillerato, o tienes visión espacial, o lo llevas chungo xd

  14. #13
    Avatar de opositivo Mega Usuari@
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    Pues a mí me pareció lo más fácil, porque una vez que lo has "visto" es una gilipollez. Es con mucha diferencia la parte donde los cálculos son más fáciles.
    Follar contigo debe ser como leer poesía - Undefined speaker 08/09/09
    Zoaz Euskal Herrira, si es que existe. Euskadifrenia. - Zarama, Bermeo 18/04/09

  15. #14
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    Dollhead, te entiendo a trozos. Esta tarde la voy a dedicar a estudiar geometria, asi que volvere a leerlo y donde tenga dudas o algo que preguntar, te comentare.

    Opositivo, las cosas las "veo", se lo que tengo que hacer. Si me piden que compruebe que un plano es paralelo a otro, se que si los vectores normales son paralelos, los planos tienen que serlo. Incluso le dije al profesor otro metodo para calcular la distancia de r a P: Q cualquiera de r, vector QP, angulo de QP y r; y por trigonometria sacas d(P,r). Aunque por mi metodo solo obtienes la distancia, no el punto de r mas cercano a P.
    El problema es el como. ¿Como obtengo los vectores normales? ¿Como compruebo que son paralelos (esto es, que son equivalentes*)? Y asi hasta la incognita mas tonta. Luego otro cantar es no saber demasiado bien lo que significa una ecuacion, aparte de la parametrica y la continua, que son claras como el agua.

    *¿Que demonios es equivalente? ¿En que ecuacion deberia igualarlo? ¿Igualo solo los terminos asociados a letras?


    De momento voy a ojear wikillerato, wikilibros, lo de juannemol, mi libro y los tochos. Os comentare dudas.

  16. #15
    Avatar de Jwym, Lord of Cinder Moderation gone hollow
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    Calcular el vector normal a un plano es sencillo: tienes el modo formal y el modo cutre.

    El modo formal es el producto vectorial de los vectores que generan el plano (los dos de la ecuación vectorial). El otro modo es pasar la ecuación del plano a su forma general Ax+By+Cz=D y así el vector normal es el (A,B,C).

    Para comprobar que dos vectores (normales o no) son paralelos basta con ver que uno es múltiplo del otro. Es decir, que si multiplico todas las componentes del primero por un cierto número, obtengo las componentes del segundo.

    Con las distancias, cuidado. Lo mejor, aunque sea largo, es calcular la proyección ortogonal del punto sobre el plano.
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


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