Dudas sobre espacios vectoriales

  1. #1
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    Dudas sobre espacios vectoriales

    Bueno, estoy en ADE y hay algunas cosas de los espacios vectoriales que no tengo claras.

    - ¿Qué diferencia hay entre (1,1,1),(1,1,0,),(1,0,0) y (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)? Sé que uno (o los dos) tienen que ver con la dichosa base canónica, pero es que no entiendo cuando hay que usar uno y cuando otro...
    La duda viene porque en un ejercicio (ya resuelto) que manda hallar base y dimensión del subespacio (El conjunto es S=[(x1,x2,x3,x4) "e" IR4 / x1-x4=0]) al final queda dim. de subespacio vectorial 3 y la base (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0) y no sé de dónde sale, si usa la canónica o qué.

    - Otro tema que me lía algo es lo de l.i., l.d., s.g y base (Cuando te lo preguntan en plan teórico). Por ejemplo "En el espacio vectorial IR4 se conoce que [x1,x2,x3,x4] es un conjunto de vectores l.i. y que [x5,x6] son vectores l.d. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? Razona la respuesta"

    - [x1,x2,x5,x6] son s.g de IR4

    - [x1,x2,x3,x4,x5,x6] son s.g de IR4

    Esas dos no sé la respuesta

    En fin, a ver si alguien me puede ayudar
    Uh?

  2. #2
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    A ver, tú puedes expresar R3(o cualquier subespacio) con una base finita de vectores,es decir, que sean linealmente independientes, en este caso 3. La única diferencia es que si los vectores son unitarios en cada dirección, como es el caso de (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1) se le denomina base canónica.

    Por lo tanto, en las cuestiones que planteas, la primera es falsa, ya que esos vectores no son linealmente independientes, por lo que no conforman una base.

    S.g. Ahora mismo no sé lo que es xD. Tengo el álgebra bastante olvidada, y puedo haber metido la pata, pero bueno, espero que te sirva de ayuda al menos.
    “The amazing thing is that every atom in your body came from a star that exploded. And, the atoms in your left hand probably came from a different star than your right hand. It really is the most poetic thing I know about physics: You are all stardust. You couldn’t be here if stars hadn’t exploded, because the elements - the carbon, nitrogen, oxygen, iron, all the things that matter for evolution - weren’t created at the beginning of time. They were created in the nuclear furnaces of stars, and the only way they could get into your body is if those stars were kind enough to explode. So, forget Jesus. The stars died so that you could be here today.”

    Lawrence Krauss, "A Universe from Nothing: Why There Is Something Rather Than Nothing".

  3. #3
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    Neku escribió: Ver mensaje
    A ver, tú puedes expresar R3(o cualquier subespacio) con una base finita de vectores,es decir, que sean linealmente independientes, en este caso 3. La única diferencia es que si los vectores son unitarios en cada dirección, como es el caso de (1,0,0);(0,1,0);(0,0,1) se le denomina base canónica.

    Por lo tanto, en las cuestiones que planteas, la primera es falsa, ya que esos vectores no son linealmente independientes, por lo que no conforman una base.
    ¿Entonces cuándo se usa la de (1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)? (Tengo varios ejercicios con esa y ni idea)

    Y otra cosa ¿Sabes cómo se obtiene el resultado ese que puse? (El del ejercicio) Es que sigo sin saber de dónde sale xD

    Neku escribió: Ver mensaje
    S.g. Ahora mismo no sé lo que es xD. Tengo el álgebra bastante olvidada, y puedo haber metido la pata, pero bueno, espero que te sirva de ayuda al menos.
    Sistema generador

    Gracias ^^
    Uh?

  4. #4
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    Puf, lo siento, a bote pronto no tengo ni idea. A ver si se pasa alguien y te echa una mano más específica, porque no quiero liarte aún más con ideas difusas.
    “The amazing thing is that every atom in your body came from a star that exploded. And, the atoms in your left hand probably came from a different star than your right hand. It really is the most poetic thing I know about physics: You are all stardust. You couldn’t be here if stars hadn’t exploded, because the elements - the carbon, nitrogen, oxygen, iron, all the things that matter for evolution - weren’t created at the beginning of time. They were created in the nuclear furnaces of stars, and the only way they could get into your body is if those stars were kind enough to explode. So, forget Jesus. The stars died so that you could be here today.”

    Lawrence Krauss, "A Universe from Nothing: Why There Is Something Rather Than Nothing".

  5. #5
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    Konata escribió: Ver mensaje
    - ¿Qué diferencia hay entre (1,1,1),(1,1,0,),(1,0,0) y (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)? Sé que uno (o los dos) tienen que ver con la dichosa base canónica, pero es que no entiendo cuando hay que usar uno y cuando otro...
    La duda viene porque en un ejercicio (ya resuelto) que manda hallar base y dimensión del subespacio (El conjunto es S=[(x1,x2,x3,x4) "e" IR4 / x1-x4=0]) al final queda dim. de subespacio vectorial 3 y la base (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0) y no sé de dónde sale, si usa la canónica o qué.
    Yo estoy en 1º de Arquitectura técnica, pero espero poder ayudarte, algo así es lo que estoy viendo yo en mi asignatura de Álgebra Lineal.

    La matriz formada por los vectores (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) es la base canónica, y la otra matriz (1,1,1),(1,1,0,),(1,0,0), es cualquier matriz B que te puede dar el ejercicio, o así lo veo yo.
    Ten en cuenta que para que los vectores formen base han de ser linealmente independientes y ser sistema de generadores del espacio en el que se está trabajando.
    La base (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0) ha podido ser hallada por la resolución de la matriz original por Gauss, pero haciéndolo por columnas en lugar de por filas, que es como se opera para calcular las dimensiones del subespacio vectorial (corrígeme si me equivoco,xdd).


    Konata escribió: Ver mensaje
    - Otro tema que me lía algo es lo de l.i., l.d., s.g y base (Cuando te lo preguntan en plan teórico). Por ejemplo "En el espacio vectorial IR4 se conoce que [x1,x2,x3,x4] es un conjunto de vectores l.i. y que [x5,x6] son vectores l.d. ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas? Razona la respuesta"

    - [x1,x2,x5,x6] son s.g de IR4

    - [x1,x2,x3,x4,x5,x6] son s.g de IR4
    L.I. Linealmente independientes
    L.D. Linealmente dependientes
    S.G. Sistema de Generadores

    Para que un conjunto de vectores sea sistema de generadores, se cumple que cualquier vector del espacio vectorial, es combinación lineal de los vectores que conforman el sistema generador.
    Matricialmente, los vectores son linealmente independientes cuando el determinante de la matriz que forman es distinto de cero.
    En caso contrario, los vectores serán lineamente dependientes.

    Si [x5,x6] son linealmente dependientes, entonces [x1,x2,x5,x6] no puede ser sistema de generadores de IR4, pues no cumple la condición de dependencia lineal de vectores.

    Si [x5,x6] son linealmente dependientes, [x1,x2,x3,x4,x5,x6] sí es sistema de generadores de IR4, ya que al representarlo matricialmente, los dos vectores que son linealmente dependientes [x5,x6], se te irían y quedaría una matriz 4x4 con los vectores [x1,x2,x3,x4], que son linealmente independientes.


    Espero no ir muy desencaminada que te haya podido servir de algo,xd.

  6. #publi
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  7. #6
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    Perdón por no haber respondido antes, últimamente ando bastante liada

    Mala Rusa escribió: Ver mensaje
    Yo estoy en 1º de Arquitectura técnica, pero espero poder ayudarte, algo así es lo que estoy viendo yo en mi asignatura de Álgebra Lineal.

    La matriz formada por los vectores (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1) es la base canónica, y la otra matriz (1,1,1),(1,1,0,),(1,0,0), es cualquier matriz B que te puede dar el ejercicio, o así lo veo yo.
    Ten en cuenta que para que los vectores formen base han de ser linealmente independientes y ser sistema de generadores del espacio en el que se está trabajando.
    La base (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0) ha podido ser hallada por la resolución de la matriz original por Gauss, pero haciéndolo por columnas en lugar de por filas, que es como se opera para calcular las dimensiones del subespacio vectorial (corrígeme si me equivoco,xdd).
    Gracias por al aclaración, aunque bueno, lo del ejercicio sigo sin saber muy bien qué hizo la profesora xD (Que yo recuerde no utilizó Gauss)

    Mala Rusa escribió: Ver mensaje
    L.I. Linealmente independientes
    L.D. Linealmente dependientes
    S.G. Sistema de Generadores
    Eso lo sé sí, me refería a que me líaba un poco ese tipo de ejercicios

    Mala Rusa escribió: Ver mensaje
    Para que un conjunto de vectores sea sistema de generadores, se cumple que cualquier vector del espacio vectorial, es combinación lineal de los vectores que conforman el sistema generador.
    Matricialmente, los vectores son linealmente independientes cuando el determinante de la matriz que forman es distinto de cero.
    En caso contrario, los vectores serán lineamente dependientes.

    Si [x5,x6] son linealmente dependientes, entonces [x1,x2,x5,x6] no puede ser sistema de generadores de IR4, pues no cumple la condición de dependencia lineal de vectores.

    Si [x5,x6] son linealmente dependientes, [x1,x2,x3,x4,x5,x6] sí es sistema de generadores de IR4, ya que al representarlo matricialmente, los dos vectores que son linealmente dependientes [x5,x6], se te irían y quedaría una matriz 4x4 con los vectores [x1,x2,x3,x4], que son linealmente independientes.


    Espero no ir muy desencaminada que te haya podido servir de algo,xd.
    Gracias, me ha servido, aunque en el examen los ejercicios no fueron parecidos a los que hicimos en clase
    Uh?

  8. #7
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    Konata escribió: Ver mensaje
    Bueno, estoy en ADE y hay algunas cosas de los espacios vectoriales que no tengo claras.

    - ¿Qué diferencia hay entre (1,1,1),(1,1,0,),(1,0,0) y (1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)? Sé que uno (o los dos) tienen que ver con la dichosa base canónica, pero es que no entiendo cuando hay que usar uno y cuando otro...
    La duda viene porque en un ejercicio (ya resuelto) que manda hallar base y dimensión del subespacio (El conjunto es S=[(x1,x2,x3,x4) "e" IR4 / x1-x4=0]) al final queda dim. de subespacio vectorial 3 y la base (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0) y no sé de dónde sale, si usa la canónica o qué.
    Como ya te dijeron, la primera es una base cualquiera de un subespacio de R3, Para resolver el ejercicio, lo tienes que hacer de la siguiente manera.

    1º.- Planteas la ecuación del conjunto como si fuese una matriz, es decir, en este caso.

    (1 0 0 -1)

    Porque si te fijas, el primer elemento está multiplicado por uno, los dos siguiente por cero y el último por menos uno.

    2.- Luego, pones debajo la matriz identidad que tenga el mismo número de columnas.

    (1 0 0 -1)
    ------------
    (1 0 0 0)
    (0 1 0 0)
    (0 0 1 0)
    (0 0 0 1)

    3.- Escalonas por columnas sumando a la cuarta columna la primera.

    (1 0 0 0)
    ------------
    (1 0 0 1)
    (0 1 0 0)
    (0 0 1 0)
    (0 0 0 1)

    4.- La base serán los vectores de la antigua matriz identidad que estén debajo de un cero, que si te fijas son la segunda, la tercera y la cuarta columna, justo los que tú pusiste como solución (1,0,0,1),(0,1,0,0),(0,0,1,0). La dimensión será el número de vectores de la base, en este caso, 3.

    El siguiente ejercicio ya te lo explicaron de manera perfecta.

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