(Demostracion)Suma de funciones medibles =S

  1. #1
    Avatar de Burbii* Superusuari@
    Registrad@ el
    07/03/2010
    Localidad
    Mi pompa de jabón =)
    Sexo
    Chica
    Edad
    26
    Mensajes
    3.204
    Agradecido
    618 veces
    Temas
    63

    (Demostracion)Suma de funciones medibles =S

    Necesito que alguien que sepa de matematicas me haga una demostracion o me diga donde puedo encontrarla,que no tengo ni idea y la necesito para el jueves =S

    Dadas X e Y funciones medibles,probar que X+Y es funcion medible

    solo encuentro la demostracion para funciones simples,pero esa no me sirve =[

    gracias!
    teamo

  2. #2
    Avatar de Burbii* Superusuari@
    Registrad@ el
    07/03/2010
    Localidad
    Mi pompa de jabón =)
    Sexo
    Chica
    Edad
    26
    Mensajes
    3.204
    Agradecido
    618 veces
    Temas
    63
    tambien me sirve la demostracion de que la funcion f:RxR->R dada por f(x,y)=x+y es medible
    teamo

  3. #3
    Avatar de Orion Muy Entendid@
    Registrad@ el
    22/05/2010
    Localidad
    De todo el mundo
    Sexo
    Chico
    Edad
    30
    Mensajes
    2.753
    Agradecido
    195 veces
    Temas
    44
    http://ocw.unican.es/ciencias-experi...2-Funmed-w.pdf

    Mira la segunda parte, ahí dice que se demuestra. No lo he revisado.


  4. #4
    Avatar de Burbii* Superusuari@
    Registrad@ el
    07/03/2010
    Localidad
    Mi pompa de jabón =)
    Sexo
    Chica
    Edad
    26
    Mensajes
    3.204
    Agradecido
    618 veces
    Temas
    63
    no viene,dice que "es evidente debido al teorema anterior",pero ya la he sacado,y la verdad que si que era evidente

    muchas gracias!!
    teamo

  5. #5
    Avatar de Jwym, Lord of Cinder Moderation gone hollow
    Registrad@ el
    16/07/2005
    Localidad
    ¿Importa eso en Internet?
    Sexo
    Chico
    Edad
    33
    Mensajes
    10.493
    Agradecido
    2731 veces
    Temas
    85
    Así a bote pronto se me ocurre la siguiente:

    Una función es medible si para todo x de su dominio, el conjunto f(x) > a es medible para todo a real.

    Tomemos dos funciones; f, g, medibles, es decir, con dicha propiedad: f(x) > a y g(x) > a para todo a.

    Hemos de provar que para todo x de la interesección de los dominios de f y g; (f + g)(x) > a, para todo a real. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que tanto f como g son funciones estrictamente positivas. De este modo, (f + g)(x) > f(x) para todo x; pero si es así, como por hipótesis se tiene f(x) > a, se sigue que (f + g)(x) > f(x) > a; para todo x del dominio y para todo a real, luego (f + g) es medible.

    Esta demostración usa la definición de la Medida de Lebesgue, pero es análoga para cualquier medida. Es fácil comprobarlo para la medida de probabilidad, por ejemplo.

    Una alternativa, es usar que f(x) es medible si, y sólo sí, |f(x)| lo es (ya que |f(x)| >= f(x) > a). Con ello nos ahorramos puntualizar que f y g son funciones positivas. En efecto: si f y g son medibles, entonces |f| y |g| lo son. Puesto que |g| >= 0 para todo x, se tiene |f|+|g| >= |f|; y como |f| es medible, en particular |f(x)| > a; luego |f(x)| + |g(x)| >= |f(x)| > a para todo x y para todo a real. Vemos así que la suma de dos funciones medibles, da una función medible.

    Bonus: Si f(x) > a, entonces, para todo k real, k·f(x) > k·a. Como k·a es real para cualquier a y cualquier k, se tiene que k·f(x) es medible.

    Corolario: El conjunto de las funciones medibles es un R-espacio vectorial; que además es de Banach si se le añade una métrica.
    Última edición hecha por Jwym, Lord of Cinder, 14/12/2010 a las 15:49.
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  6. #publi
    Publicidad

     

  7. #6
    Avatar de Burbii* Superusuari@
    Registrad@ el
    07/03/2010
    Localidad
    Mi pompa de jabón =)
    Sexo
    Chica
    Edad
    26
    Mensajes
    3.204
    Agradecido
    618 veces
    Temas
    63
    joo,que currado xDD

    yo he usado el teorema de medibilidad que dice que una funcion f es medible si,y solo si,existe una sucesion de funciones simples no decreciente convergente a f.

    entonces,como f y g son medibles existen {fn} y {gn} simples,no decrecientes y convergentes a f y g respectivamente.como la clase de las funciones simples es cerrada para la suma,se tiene {fn+gn} es simple para todo n,y por ser ambas no decrecientes,la suma tambien lo es.ademas lim(fn+gn)=lim(fn)+lim(gn)=f+g y ,de nuevo por el teorema de medibilidad,f+g es medible.

    demostracion que me ha ocupado una cara,todo explicadisimo y desarroyadisimo.yo me he quedado convencidisima ^^


    por cierto,no termino de entender tu segunda linea: "Una función es medible si para todo x de su dominio, el conjunto f(x) > a es medible para todo a real."

    la definicion que yo tengo de funcion medible es:

    sea f[omega1],[sigma-algebra1])-->([omega2],[sigma-algebra2])
    f es medible si para todo b perteneciente a [sigma-algebra2] se tiene f(-1)(b) pertenece a [sigma-algebra1])


    esto lo uso para la asignatura de probabilidad,asique a lo mejor tu definicion es de otra asignatura,o de otro curso superior,que yo estoy en segundo ^^
    teamo

  8. #7
    Avatar de Jwym, Lord of Cinder Moderation gone hollow
    Registrad@ el
    16/07/2005
    Localidad
    ¿Importa eso en Internet?
    Sexo
    Chico
    Edad
    33
    Mensajes
    10.493
    Agradecido
    2731 veces
    Temas
    85
    Tu definición no me suena, pero lo que sí puedo decirte es que una sigma-álgebra caracteriza de algún modo a los conjuntos medibles. En tu caso, como es probabilidades, trabajarás con la sigma-álgebra de Borel, que es relativamente sencilla y manejable.

    Yo he usado la definción digamos general de medida; precedida por una medida exterior y caracterizada mediante el Teorema de Carathéodory. Ésta dice que una medida es una función m que va de la sigma-álgebra dada a (un subconjunto de) los reales positivos; verificando lo siguiente:

    1. m(vacío) = 0
    2. m(A U B) = m(A) + m(B)

    Si te fijas, el paralelismo con la probabilidad está claro; salvo que si la medida es de probabilidad aparece una tercera condición:

    3. m(A complementario) = 1 - m(A)

    Ya que, en la medida de probabilidad (medida de Kolmogorov) ningún conjunto puede tener medida infinita y, como máximo, ha de tener medida 1. Esto en general no sucede. Por ejemplo, en la medida de Lebesgue, que es la que se usa para integrar, la recta real tiene medida infinito.

    Ahora bien, no confundir función de medida con función medible. Una función de medida asigna a cada conjunto de la sigma-álgebra un valor real; mientras que una función medible es aquella que, bajo una medida concreta, satisface la propiedad que dije al principio:

    El conjunto f(x) > a es medible según la medida dada.

    Esto es equivalente a que sean medibles los conjuntos f(x) >= a, f(x) < a y f(x) <= a. Si lo piensas, el paralelismo con la probabilidad está claro: la probabilidad de una v.a. aleatoria es la integral de su función de densidad; y da lo mismo P(X < a) que P(X <= a); ya que un número sólo es un conjunto de medida cero.

    Por último, la definción que usé, traducida al lenguaje de probabilidades, es precisamente la definición de variable aleatoria.
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  9. #8
    Avatar de Burbii* Superusuari@
    Registrad@ el
    07/03/2010
    Localidad
    Mi pompa de jabón =)
    Sexo
    Chica
    Edad
    26
    Mensajes
    3.204
    Agradecido
    618 veces
    Temas
    63
    ahh okis! muchas gracias ^^
    teamo

Permisos de tu Usuario

  • No puedes crear nuevos temas
  • No puedes publicar respuestas
  • No puedes adjuntar archivos
  • No puedes editar tus mensajes
  •  
  • El código BB está activado
  • Los emoticonos están activados
  • La etiqueta [IMG] está activado
  • La etiqueta [VIDEO] está activado
  • El código HTML está desactivado
  • Los Trackbacks están desactivados
  • Los Pingbacks están desactivados
  • Los Refbacks están activados
  • Temas similares

    1. Respuestas: 0
      Último mensaje: 21/11/2010, 13:47
    2. Ejercicios de funciones URGENTE!
      Por Rikkie. en Aula eK
      Respuestas: 17
      Último mensaje: 24/05/2010, 18:58
    3. Continuidad de las funciones
      Por Bocatadechicle en Aula eK
      Respuestas: 13
      Último mensaje: 07/05/2009, 0:48
    4. [Rap] LATEX DIAMOND - CUENTA Y SUMA MIXTAPE
      Por Lil_ameliE en Música
      Respuestas: 2
      Último mensaje: 21/04/2008, 19:36