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Convergencia en una serie

  1. #1
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    Convergencia en una serie

    Hello!

    Tengo que comprobar si una serie es convergente o no. He aquí la susodicha:




    Si uso los criterios del cociente y de Cauchy, me sale que el límite es igual a 1, Ahora viene aquí la parte que no entiendo, xd. En mis apuntes pone que para usar el criterio de comparación, la serie que uso para compararla ha de ser mayor a la que ya tengo y, de ser así, si la primera converge, la segunda también lo hace. Entonces, ¿si la serie es mayor y converge, ya es condición suficiente como para decir que la segunda serie también es convergente? ¿No tendría que hacer la segunda parte (ver más abajo)?

    Después, pone que una consecuencia de este teorema es que haces el límite del cociente entre ambas y, si el resultado es diferente de 0/infinito, ambas convergen o divergen al mismo tiempo. Mi duda viene a que he visto ejemplos de esta segunda parte (creo que se llama criterio de comparación por el paso al límite) donde la serie que usaba como comparación no era mayor que la que me daba el enunciado. ¿Es un requisito necesario para aplicar el teorema? He buscado por internet y en ningún sitio me ha aparecido lo de que deba ser mayor.

    En fin, que usé la serie 1/n para compararla, hice el límite del cociente entre ambas y me dio infinito. Si daba infinito y la primera era divergente, la segunda también lo era. ¿Este razonamiento está bien? Temo estar metiendo la pata porque esto no aparece en mis apuntes, lo he leído en un par de libros y aquí.

    Gracias y perdón por el tocho, xd.
    Última edición hecha por ........, 28/05/2013 a las 14:35.

  2. #2
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    Estaba a punto de preguntar por qué no habías abierto el hilo en el subforo "Televisión y radio". Bravo Bels.
    ........, November y Randal Graves han agradecido este mensaje.


  3. #3
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    Grande, xdddd.

  4. #4
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    Siempre odié la parte de sucesiones y series, así que no voy a poder ayudarte mucho, pero esa serie por el criterio de comparación sale que es divergente, ya que como dices se compara con la de 1/n, que diverge, y como 1/ln(n) > 1/n , entonces la serie que dices también es divergente.
    ........ ha agradecido este mensaje.

  5. #5
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    Justamente ésa es la parte del razonamiento que no entiendo, Ponequita. Desconozco si 1/ln(n) es divergente o no, así que si hago que 1/ln(n) > 1/n y 1/n es divergente, según mis apuntes no puedo confirmar que 1/ln(n) es divergente también, XD. El teorema no funciona en los dos sentidos, vaya. Tendría que corroborar de otro modo que es divergente.

    ¡Gracias! ^^

  6. #publi
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  7. #6
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    Yo ya te digo que en esto vendrá alguien que te pueda ayudar mejor que yo xD, pero lo que a mi me explicaron del criterio de comparación es que si "la grande" converge, implica que "la chica" también converge, y si "la chica" diverge, implica que "la grande" también diverge.
    ........ ha agradecido este mensaje.

  8. #7
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    Bels escribió: Ver mensaje
    Estaba a punto de preguntar por qué no habías abierto el hilo en el subforo "Televisión y radio". Bravo Bels.

    Yo más o menos lo mismo. Cuando hice click pensé en series de TV. Ya luego me fijé que era del subforo de AULA y dije: "bua, matemáticas de esas con solo letras y blablabla".





  9. #8
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    VAAAALE. Tienes razón, xdd. Lo tenía apuntado en una esquinita y mal, por cierto, xd. Tenía que si la "grande" divergía, la "chica" también, y es como tú dices. Thx u!

    P.D.: Estoy por cambiarle el título al hilo, jajajaja.

  10. #9
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    Bels escribió: Ver mensaje
    Estaba a punto de preguntar por qué no habías abierto el hilo en el subforo "Televisión y radio". Bravo Bels.
    Yo según vi el título pensé que lo había puesto en aula porque estaba buscando ejemplos para poner en algún trabajo. Bravo Laertes.
    Bels ha agradecido este mensaje.


  11. #10
    Avatar de Jwym, Lord of Cinder Moderation gone hollow
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    California escribió: Ver mensaje
    Hello!

    Tengo que comprobar si una serie es convergente o no. He aquí la susodicha:




    Si uso los criterios del cociente y de Cauchy, me sale que el límite es igual a 1, Ahora viene aquí la parte que no entiendo, xd. En mis apuntes pone que para usar el criterio de comparación, la serie que uso para compararla ha de ser mayor a la que ya tengo y, de ser así, si la primera converge, la segunda también lo hace. Entonces, ¿si la serie es mayor y converge, ya es condición suficiente como para decir que la segunda serie también es convergente? ¿No tendría que hacer la segunda parte (ver más abajo)?
    Sí, siempre y cuando compruebes que todos los términos son positivos (en este caso, como n >= 2, funciona). En tal caso tienes que una cosa positiva es menor que una cosa finita, luego tu cosa es finita. (Sin lo primero, tu serie podría divergir a menos infinito).

    Después, pone que una consecuencia de este teorema es que haces el límite del cociente entre ambas y, si el resultado es diferente de 0/infinito, ambas convergen o divergen al mismo tiempo. Mi duda viene a que he visto ejemplos de esta segunda parte (creo que se llama criterio de comparación por el paso al límite) donde la serie que usaba como comparación no era mayor que la que me daba el enunciado. ¿Es un requisito necesario para aplicar el teorema? He buscado por internet y en ningún sitio me ha aparecido lo de que deba ser mayor.
    No, basta con que el limite del cociente sea una constante no nula. Tirando a infinito, los términos mayor y menor son algo difusos, lo que cuenta es que tengan el mismo carácter, y esto es precisamente que el límite del cociente sea una constante no nula.

    En fin, que usé la serie 1/n para compararla, hice el límite del cociente entre ambas y me dio infinito. Si daba infinito y la primera era divergente, la segunda también lo era. ¿Este razonamiento está bien? Temo estar metiendo la pata porque esto no aparece en mis apuntes, lo he leído en un par de libros y aquí.

    Gracias y perdón por el tocho, xd.
    No, ese razonamiento no es correcto: estás diciendo que si divides una cosa infinita entre otra cosa te sigue dando infinito, de lo cual no puedes sacar ninguna conclusión. Podrías si el límite hubiese dado cero, porque entonces significa que aún siendo infinito el numerador, el denominador es tan grande que en el inifnito machaca el cociente, luego "es más infinito" que el numerador.

    Al ajo: en tu caso, yo creo que no has de comparar con 1/n sino con n, pues

    (1 / ln n) / n = n / ln n ----> Infinito (pues, por ejemplo, 1000000 >>> ln 1000000). Como n tiende a infinito, estás diciendo que lo tuyo dividido por una cosa grandísima sige siendo bastante grande, luego lo tuyo ha de ser grandísimo a la fuerza.
    ........ ha agradecido este mensaje.
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  12. #11
    Avatar de Tom Henning Mega Usuari@
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    Y yo que creía que saldría Arturo Más en alguna serie...

  13. #12
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    Gracias otra vez, Jaime, ^^. Ya lo veo claro, (:
    Jwym, Lord of Cinder ha agradecido este mensaje.

  14. #13
    Avatar de Animalia ¡Destrábate, carallo!
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    Otra que ha venido a parar aquí extrañada de que no esté en el subforo de Televisión y radio xDD.

    Que envidia me dan aquellas personas que se les dan bien las ciencias, yo soy negadísima, me suena a chino la explicación de Jaime xd.
    "Es el síndrome del campamento de verano. Te vas de campamento, y te lo pasas de puta madre, el mejor verano de tu vida, piensas. Vuelves a casa y te tiras todo el año pensando en el próximo campamento, en volver a repetir todo, mejor. Y entonces llega, y todo ha cambiado, todo es extraño ya. Y entonces caes, tus mejores años fueron eso, los mejores.

    Y nunca se van a repetir"




  15. #14
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    Qué va, Mikka. Esto es aplicar cuatro teoremas. Lo mejor viene cuando tienes que integrar o hacer EDO's. Eso es todo arte creativo.

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