Dudas con cambio de base (álgebra)

Mañana tengo examen de álgebra y no entiendo cómo se calcula el cambio de base de una matriz a otra, ...

  1. #1
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    Dudas con cambio de base (álgebra)

    Mañana tengo examen de álgebra y no entiendo cómo se calcula el cambio de base de una matriz a otra, ¿alguien puede explicármelo paso a paso para tontos? :S

    Gracias!!



  2. #2
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    Mmmmm, ¿lo haces con aplicaciones lineales o con el método de instituto?
    I allò que val és la consciència de no ser res si no s'és poble. De no ser res si no s'és lliure.
    Vicent Andrés Estellés.


  3. #3
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    No sé, lo que hace el libro es hacer un sistema de ecuaciones (que no sé de dónde sale) con las coordenadas y resolverlo porque aún no multiplicamos matrices. No sé si era esto a lo que te referías. Mientras lo entienda, el método da lo mismo... :___

    Gracias.



  4. #4
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    ¿Sin multiplicar matrices? Ay, estos físicos...

    Bueno, tú quieres pasar de la base A a la base B. Es decir, dado un vector v expresado en la base A quieres hallar las componentes de v en la base B. Esto es, hallar una matrix X tal que X·v da las componentes del vector v en la base B.

    "Hallar un matriz X" significa encontrar n^2 coeficientes, siendo n la dimensión del espacio al que pertenece v; por lo que te haces a la idea de lo lamentablemente tedioso que es hacerlo con sistemas, pero ok; yo te lo explico.

    Se trata de agarrar cada vector de la base A y buscar sus componentes en la base B. Para cada vector de la base A encontrarás sus n componentes en la base B; éstas n componentes son el resultado de multiplicar la matriz X del cambio de base por el vector que has tomado. Haz lo mismo con todos los vectores de la base A. Como ves, para cada uno de los n vectores de la base A hay que plantear un sistema de n ecuaciones y n incógnitas, lo cual da un total de n^2 incógnitas. Cuando tengas toda esta colección de componentes, has de ir una a una y buscar la matriz X que multiplicando al primer vector da las primeras componentes, el segundo las segundas, etc.

    Un subterfugio que te puede sacar de un apuro es hacer un paso intermedio con la base canónica. Pasa de la base A a la base canónica (sistema triangular) y luego de la base canónica a la base B (sistema triangular).

    Veamos un ejemplo:

    Ejemplo: pasamos de la base A={(1,-2),(-1,-7)} a la base B={(-1,1),(2,-3)}. Expresamos (1,-2) en la base B:

    (1,-2) = k(-1,1) + l(2,-3)

    Si resolvemos el sistema obtenemos k = 1, l = 1.

    Ahora expresamos (-1,-7) en la base B:

    (5,-7) = m(-1,1) + n(2,-3)

    Si resolvemos el sistema obtenemos m = -1, n = 2.

    Así las cosas, (1,-2) es (1,1) en la base B y (5,-7) es (-1,2). "Sólo" queda encontrar un matriz X de modo que X(1,-2) = (1,1) y X(5,-7) = (-1,2). Esto da otro sistema de n^2 ecuaciones:

    Sean a, b, c, d las entradas de la matriz X, se tiene:

    a-2b = 1
    c-2d = 1
    5a-7b = -1
    5c-7d = 2

    Resulves el sistema (yo paso) y obtendrás por fin la matriz X.

    Conviene observar que, lógicamente, X ha de ser de rango máximo. Esto se explica fácilmente viendo que si quieres hacer el camino inverso, pasar de B a A, bastará con hallar la matriz inversa de X. Si ésta no tuviera rango máximo, no sería inversible y todo esto no tendría sentido.

    Matricialmente, todo esto se traduce en que si A y B son las matrices de cada base (es decir, los vectores de la base puestos en columna) entonces la matriz del cambio de base es la matriz X que satisface la siguiente ecuación matricial:

    A = X'·B·X,

    dónde X' denota la inversa de X, y tomando en consideración que el producto de matrices no es conmutativo (es decir, no es lo mismo multiplicar por la izquierda que por la derecha). Cuando uno ha estudiado aplicaciones lineales, esta relación resulta muy diáfana. Es normal que con sistemas no se entienda un pimiento.
    Última edición hecha por Jaimériste Galois, 24/10/2010 a las 20:11.
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  5. #5
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    Oh, mil gracias, *O*. Me salvas la vida y más. Ahora sí lo he entendido. En el libro se saltaba un paso y me perdía, -.-' No eres la única persona que me dice que hacerlo sin multiplicar matrices es tedioso pero el profesor lo acabó explicando como quería, juas.



  6. #publi
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  7. #6
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    ¿Qué libro usas? ¿El Castellet-Llerena o el infame Tipler-Mosca?
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  8. #7
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    Jaime'th escribió: Ver mensaje
    ¿Qué libro usas? ¿El Castellet-Llerena o el infame Tipler-Mosca?
    Castellet-Llerena es el que usa mi profesor, pero me pierdo en las explicaciones porque sólo lo tenemos en catalán, xD



  9. #8
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    El Castellet-Llerena es aceptable, lo cual lo hace el mejor disponible (bueno no hay ni uno); pero para que te hagas una idea la Dra. Llerena es una persona que a penas sabe hablar. Se pasó una clase entera diciendo "dialització" (dialización) en lugar de "diagonalització" (diagonalización), y ya no volví más a sus clases.

    El buen señor Castellet es su ex-marido, otro famoso matemático del que ella suele hablar pestes. Me aburren sobremanera.
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    Vicent Andrés Estellés.


  10. #9
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    Joder, no sabía que habían sido marido y mujer, xD. Bueno, hay personas que en sus libros se expresan bien y luego en la práctica son aburridos o no saben explicarse de una manera adecuada.



  11. #10
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    Mi pompa de jabón =)
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    jaime,por curiosidad¿tu que has estudiado/estudias?
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  12. #11
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    Matenosecuantos.
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  13. #12
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    ¿En la UB? ¿Y teníais Astronomía como asignatura? Anda.



  14. #13
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    Hay una optativa de Iniciación a la Astronomía. Entiéndase por inciación toda la Geometría Diferencial involucarada en el posicionamiento mediante coordenadas celestes. O sea, que nada de astros.

    Si logro acabar este año me apuntaré al máster de Astronomía y Astrofísica de la fuckultad de Física, así que por allí andaré.
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  15. #14
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    Claro, estaría más orientado a la carrera de matemáticas. Yo también quiero hacer ese máster, si no lo quitan antes de que termine la carrera.

    Bue, el examen al final era hacer un cambio de base de la canónica a una que nos dieron y hacer otro cambio de base de otra que nos dieron a la canónica. Ah, y buscar las coordenadas del vector W en la base canónica y en las que nos plantearon.

    No sé, lo primer lo hice bien... pero las coordenadas de ese vector ya las había calculado para sacar la matriz de cambio de base y me pedía que los obtuviese a partir del cambio de base calculado. Al menos tendré un 5, xDD.



  16. #15
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    Si has justificado lo que has hecho, yo diría que es un 10.
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    Vicent Andrés Estellés.


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